Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Уравнение (9.39) показывает, что спектральная плотность мощ­ ности периодической псевдослучайной двоичной последователь­ ности определяется амплитудными коэффициентами Фурье при гар­ монических частотах, кратных основной частоте Д, которая в свою очередь равна обратной величине периода.

Характеристики /«-последовательности. Рассмотрим 9-разряд- ный регистр сдвига. Согласно уравнению (9.19), Z = 511 временным приращениям за один период. Предположим, что регистр сдвига

Рис. 9.12. Спектральная плотность мощности псевдослучайной двоичной переменной.

работает на частоте сдвига, или задающей частоте / с, равной 1 кгц, тогда приращение времени А равно 1 мсек. При этом период

и в нашем случае равен 0,511 сек. Основная частота этой периоди­ ческой переменной тогда равна

что в нашем случае составляет 1,958 гц или 12,33 рад!сек. Ниже будет показано, что частотный спектр сигнала доходит до нуля при частоте сдвигов f c, но практически верхний предел полезного частот­ ного интервала равен половине частоты сдвигов. Следовательно, полезный интервал частот рассматриваемого псевдослучайного двоичного сигнала лежит в пределах от 1,958 до 500 гц.

Если задающую частоту удвоить, т. е. если принять / с=2000 гц, полезный интервал частот составит 3,92-М000 гц. Удваивается как верхний, так и нижний частотный предел. На рис. 9.12 показана спектральная плотность мощности этого сигнала в нормализованном масштабе в зависимости от частоты, выраженной как в номере гар­ моники, так и в долях задающей частоты.

249

Используя 10-разрядный регистр сдвига вместо 9-разрядного, получим Z = 1023 сдвигов на цикл и период 1,023 сек для задающей частоты 1 кгц. Полезный интервал частот при этом становится рав­ ным 0,978—500 гц. Удвоение задающей частоты до 2 кгц дает интер­ вал частот 1,956—ь-1000 гц. Из этих примеров видно, что существу­ ет относительно немного ограничений на интервал частот, который может генерироваться таким устройством. Однако на выбор разрядов и задающей частоты могут повлиять другие соображения, в част­ ности, при использовании цифровой обработки информации.

Спектральные плотности мощности псевдослучайных последо­ вательностей с одинаковым периодом Р, но разным числом сдви­ гов на последовательность, имеют одинаковую частоту гармоник, но различное распределение энергии. Для коротких последователь­ ностей энергия сигнала сконцентрирована в низкочастотном диапа­ зоне, в то время как для более длинных последовательностей ампли­ туда меньше меняется от гармоники к гармонике, однако низко­ частотные амплитуды гораздо меньше соответствующих величин для более коротких последовательностей. Керлин [7] указал, что номер гармоники nh, при котором амплитуда гармоники уменьша­

Кроме того, он показал, что энергия, содержащаяся в гармониках, которые не более чем вдвое превышают основную, составляет ~71 % общей энергии сигнала и что средняя амплитуда этих гармо­ ник примерно равна

и распределена по многим гармоникам для более длинных последо­ вательностей, что отражено на рис. 9.13.

Керлин [7] рассмотрел погрешность, связанную с численной оценкой частотной характеристики системы, используя для исследо­ вания периодические псевдослучайные двоичные сигналы. Хорошо известно, что гармонический анализ периодических сигналов приме­ ним только для расчета гармонических частот. Керлином были изу­ чены результаты оценки спектральной плотности мощности т-после- довательности при произвольных частотах и при гармонических частотах с помощью анализа как полного цикла, так и полуцикла. Погрешности, возникающие при рассмотрении полного цикла и произвольных частот, действительно оказались драматическими. Например, Керлин показал, что отклонение в 1% от гармонической частоты дает 50%-ную погрешность в расчетной амплитуде десятой гармонической компоненты. Следует, однако, отметить, что эта процедура включает в себя использование эффективной полосы про­ пускания, которая почти равна расстоянию между гармониками

250

(т. е. равна основной частоте), что увеличивает разницу между ре­

фективная полоса пропускания фильтра, связанного с преобразо­ ванием Фурье, включает несколько гармоник, разница между этими результатами будет существенно уменьшена. Керлин [7], однако, показал, что анализ половины цикла значительно умень­ шает погрешности, связанные с негармоническими частотами, осо­ бенно для гармоник выше четвертого порядка.

Керлин также изучал погрешности при прямых измерениях спектральной плотности мощности (как мощности, приходящейся

19-разрядная последобательность

63-разрядная последовательность

251-разрядная последовательность

ВО 80 100 120 ПО ISO 180 200

п-нопео гарпоники

Рис. 9.13. Спектральная плотность мощности т-последова- тельностей различной длины [7].

на единицу интервала частоты) с помощью полосовых фильтров

ипришел к следующим выводам.

1.Если фильтр имеет полосу пропускания много меньшую, чем частотное расстояние между гармониками, при измерении вход­ ного спектра мощности могут быть получены хорошие результаты, если средняя частота фильтра близка к гармонической частоте.

2.Если полоса пропускания фильтра много меньше, чем частот­

ное расстояние между гармониками, и средняя частота фильтра не близка к гармонической частоте, будет получена ошибочная спект­ ральная плотность мощности, но получить приблизительно пра­ вильные значения частотных характеристик и передаточной функ­ ции еще возможно при условии, что спектральная плотность мощ­ ности входного сигнала и взаимная спектральная плотность между входным и выходным сигналами измерены при совершенно одинако­ вых частотах. Кроме того, полагается, что средняя частота фильтра гораздо ближе к одной гармонике, чем к другой, и что все другие гармоники достаточно далеко удалены и оказывают очень слабое влияние.

3. Если фильтр имеет полосу пропускания, которая велика по сравнению с частотным расстоянием между гармониками, то можно

251

получить хорошие частотные характеристики, если все гармоники в полосе пропускания имеют примерно одинаковую амплитуду и если спектр мощности выходного сигнала слабо изменяется около средней частоты.

Это показывает, что можно получить хорошие результаты по частотным характеристикам в некоторых случаях, когда спектр мощности входного сигнала и взаимный спектр порознь не являются подходящими. Однако, полагаясь на такого рода компенсированное поведение, необходимо проявить предельную осторожность.

§ 9.4. Псевдослучайная переменная типа остатков квадрата

Максимальная последовательность линейного регистра сдвига благодаря простоте ее получения обычно используется в эксперимен­ тах с псевдослучайными шумами, однако исторически раньше была рассмотрена другая последовательность, имеющая те же функции автокорреляции и спектральной плотности мощности. Речь идет о по­ следовательности «остатков квадрата». В качестве примера ее гене­ рации рассмотрим простое число в виде

Пусть д = 5 , тогда Q = 19. Числа от 1 до 19 запишем в порядке, ука­ занном в табл. 9.5, и обозначим х. Во втором столбце приведем х2—

ь.

Qi1(один период)

Рис. 9.14. Псевдослучайная двоичная последовательность остатков квадрата.

квадрат этих чисел. В третьем столбце поместим т — наибольшее целое число, включая 0, которое при вычитании mQ из х2дает положительный остаток, кроме 0, меньший, чем Q. Например, для х2 = 49, т — 2; это означает, что из 49 можно вычесть 2 X 19, и в остатке получить 11. (Интересно отметить симметрию остатков

довательность может быть получена следующим образом: отложим на временной оси 19 равных интервалов, как показано на рис.9.14. Затем припишем амплитуду одного из дискретных уровней тем ин­ тервалам, номера которых соответствуют числам в столбце остатков квадрата табл. 9.5, включая последний номер 19. Для рассматри­ ваемого примера значение +1 приписывается временным интерва-

252

* Это значение может быть равно 19, тогда остаток будет равен 0; следователь-

но, интервалы должны быть пронумерованы от 0 до 18, а не от 1 до 19, как сделано на рис. 9.14.

лам, помещенным в последнем столбце табл. 9.5 (т. е. интервалам 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17, 19) и значение 1 приписывается остальным временным интервалам (т. е. интервалам 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15 и 18). Результирующий сигнал показан на рис. 9.14.

§ 9.5. Многочастотные двоичные входные сигналы

Частотные характеристики реакторной системы обычно могут быть представлены с достаточной точностью ограниченным коли­ чеством точек при условии, что точки , выбраны с необходимой точностью и разумно удалены друг от друга. Семь или восемь точек, удаленных друг от друга на одну октаву, обычно хорошо перекры­ вают ширину полосы в две декады. Если эти две декады выбраны ра­ зумно, динамические свойства системы описываются достаточно хорошо. Исключение, конечно, представляют острые резонансы, когда для описания поведения системы требуется большое коли­ чество точек на кривой частотной характеристики. Вообще точки измерения на кривой частотной характеристики выбраны достаточно эффективно, если они представляют арифметическую прогрессию и нанесены на логарифмическую частотную шкалу.

25»