Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

наиболее длинной серии равна 4Д по сравнению с ЗА для псевдо­ случайной двоичной переменной.

Легко показать, что автокорреляционная функция последова­ тельности с обратным повторением в момент £Д (£ — целое число) получается умножением автокорреляционной функции псевдослу­ чайной двоичной последовательности ср (£Д) на (—1)‘. Это означает,

Рис. 9.18. Автокорреляционная функция псевдослучай­ ной переменной с Р = 7Д (а) и автокорреля­ ционная функция соответствующей переменной с обратным повторением с Р = 14Д (б).

что треугольные положительные пики будут иметь место при

псевдослучайной переменной и соответствующей последователь­ ности с обратным повторением. Поскольку площадь между кривой Фкм (т) и осью абсцисс определяет влияние боковых полос на изме­ рение,vпоследовательность с обратным повторением привлекательна для измерений взаимной корреляции.

§ 9.7. Использование псевдослучайных переменных в качестве заменителя случайных шумов

Распределение вероятности амплитуд. Использование псевдо­ случайных переменных в качестве случайных шумов может быть вполне удовлетворительным в одних случаях, но неудовлетвори­ тельным в других случаях. Наиболее существенная разница имеется в графиках плотностей вероятности амплитуд, что показано на рис. 9.19, на котором сравниваются плотности вероятности ампли­ туд гауссовых случайных шумов и псевдослучайной переменной. В ситуациях, в которых важна плотность или распределение вероят­

нообразный характер плотности вероятности еще виден для отно­ шения, равного 3, но исчезает по мере увеличения задающей часто­ ты. Для отношения, равного 20, плотность вероятности близка к гауссовой. Однако уже для отношений 7 и 10 становится заметной небольшая асимметрия, которая делается совершенно явной при отношениях 60 и 80. Эта асимметрия является в основном следстви­ ем распределения длин серий (см. табл. 9.2). Поскольку каждая псевдослучайная последовательность имеет нечетное число сдвигов на период, самую длинную серию имеет одно состояние и вторую по длине серию имеет другое состояние. Кроме того, эти две серии обычно в цикле далеко разделены во времени. Эта разница хотя и кажется небольшой, но создает эффект асимметрии, отмеченный на рис. 9.20. Этот эффект можно ликвидировать суммированием двух псевдослучайных переменных различной длины с образова­ нием третьей псевдослучайной переменной. Такая процедура мо­ жет быть использована в зависимости от характера эксперимента.

Корреляционные эксперименты. При проведении экспериментов по кинетике реакторных систем основное требование состоит в том,

260

чтобы частотный состав псевдослучайного входного сигнала был совместим с динамическими характеристиками компонент иссле­ дуемой системы. Если исследуется постоянная времени быстрого затухания подкритической .системы, рассматриваемый интервал частот совершенно другой, чем при изучении ксеноновых или тем­ пературных флуктуаций в энергетических реакторах. Очевидно, что частотный состав псевдослучайных двоичных сигналов может быть легко изменен выбором частоты и периода сдвига (длиной по-

Рис. 9.20. Плотность вероятности фильтрованной псевдо­ случайной переменной, использующей 15-раз- рядный регистр и фильтр Баттерворда второго порядка [17].

следовательности). Ниже будут обсуждаться практические соображе­ ния выбора параметров этих последовательностей в конкретных экспериментах.

В гл. 4 показано, что определенные упрощенные соотношения, включающие корреляционные функции и спектральные плотности входных и выходных сигналов, справедливы, если автокорреляцион­ ная функция входа есть дельта-функция Дирака и ее спектральная плотность мощности постоянна на всех частотах. Такие идеальные условия никогда не выполняются для действительных переменных, но могут быть хорошо аппроксимированы рядом псевдослучайных переменных, как показано выше в этой главе. Действительная автокорреляционная функция любой истинно случайной двоичной переменной (см. рис. 9.3 и 9;4) не будет асимптотически прибли­ жаться к нулю на бесконечности, так как сигналы имеют конечную длину. Флуктуации автокорреляционной функции около временной оси (боковые полосы) имеют тенденцию к уменьшению по амплитуде по мере увеличения длительности сигнала, но нет никаких осно­ ваний утверждать, что амплитуда боковых полос будет меньше

261

любого заданного значения. Последовательность максимальной длины и последовательность остатков квадрата имеет автокорре­ ляционные функции, которые полностью определены, как показано на рис. 9.11. При увеличении периода последовательности ZA мак­ симальные значения становятся более разнесенными и боковые поло­ сы уменьшаются. По мере увеличения частоты основание треуголь­ ников становится меньше. Следовательно, комбинация большого периода и высокой задающей частоты дала бы автокорреляционную функцию, которая хорошо аппроксимирует дельта-функцию Ди­ рака. Спектральная плотность мощности такой переменной, как

можно, использовать высокую задающую частоту и (или) длинные периоды. В этих случаях необходимо вводить поправку на конеч­ ные размеры треугольников и наличие боковых полос. Последнее выполнимо, так как автокорреляция определена.

В некоторых типах корреляционных' экспериментов достаточно возбудить систему широкополосным входным сигналом. Для этого пригоден любой двоичный сигнал, описанный выше в этой главе, например случайный двоичный сигнал, который включает и выклю­ чает нейтронный генератор ускорительного типа, возмущающий подкритическую ядерную систему. Поскольку эта система линей­ на, амплитуды возмущений могут быть сделаны очень большими, а влияние сопровождающих шумов малым. Автокорреляционная

си-альфа. В экспериментах с взаимной корреляцией получаются хорошие результаты, если известны и учтены статистические харак­ теристики входной переменной. Только в некоторых специальных случаях допустимо предположение, что входной сигнал является белым, и можно использовать особые свойства белых шумов для анализа эксперимента. Однако вся тяжесть доказательства такого предположения ложится на исследователя, который это делает.

§ 9.8. Взаимная корреляция с псевдослучайными двоичными сигналами

В гл. 4 показано, что с помощью функции корреляции и спек­ тральной плотности вход-выходные соотношения для линейных систем определяются следующими выражениями:

00

262

Применение двух последних выражений для оценки Н (со) не представляет каких-либо проблем, если могут быть получены достаточно точные прямые измерения Gxy (со) и Gxx (со) или Фху (со) и Фхх (со). Однако иногда целесообразно или даже необходимо из-за имеющегося оборудования использовать временное соотношение, описываемое уравнением (9.51). Процедура очень проста, если вход­ ная функция х (/) является белым щумом, имеющим автокорреля­

где К — коэффициент пропорциональности между функцией срк!/ (т) взаимной корреляции и импульсной переходной функцией h (т). Как указано выше, часто нельзя получить приближение бе­ лых шумов, что затрудняет проведение оценки h (т) по уравнению (9.51), если срж (т) известна. Однако можно использовать псевдослу­ чайную двоичную входную функцию, имеющую автокорреляцион­ ную функцию, показанную на рис. 9.11, в следующих случаях.

1. Период ZA больше, чем время спада импульсной характе­ ристики до равновесного значения, т. е. постоянная времени систе­ мы значительно меньше, чем период входной переменной.

2.Импульсная переходная функция незначительно изменяется

втечение одного интервала Д (средней ширины треугольного шага).

3.Треугольный пик 2Д настолько узок, и амплитуда боковых полос столь мала, что ими можно пренебречь.

Если эти условия не выполняются, для преодоления упомяну­ тых трудностей используется детерминированная (и известная) форма автокорреляционной функции.

Обычно выполнение первого условия с псевдослучайной двоич­ ной переменной не представляет никаких затруднений, а второе условие удовлетворяется, за исключением начального участка им­ пульсной переходной функции, где h (т) изменяется очень быстро. Последнее обстоятельство может исказить измерения h (т) в этой области и во многих случаях сместить максимальное значение. Указанный эффект уменьшают оптимальным подбором частоты ре­ гистра сдвига и количества выборок за интервал Д задающей ча­

Выше примерно 1/10 задающей частоты имеется частотный ин­ тервал, для которого амплитуды дискретных частотных компонент почти постоянны. Это соответствует интервалу, где sin х примерно равен х. Если задающая частота достаточно высока, так что рассмат­ риваемый интервал частот меньше, чем Ч10 задающей частоты,

263

допустимо предположение о том, что спектральная плотность мощ­ ности входного сигнала постоянна во всем интервале частот. Сле­ довательно, при этих условиях справедливо, что амплитуда переда­ точной функции пропорциональна амплитуде взаимной спектраль­ ной плотности между входом и выходом. Кроме того, при этих предположениях справедливо аналогичное соотношение во вре­ менной области (т. е. что импульсная переходная функция пропор­ циональна взаимной корреляции между входом и выходом).

Система on-line взаимной корреляции с использованием псевдо­ случайной двоичной входной функции. Непосредственная взаим­ ная корреляция с использованием псевдослучайных двоичных

Рис. 9.21. Система взаимной корреляции.

входных сигналов производилась авторами работ [3, 4, 18]. У всех этих экспериментаторов были почти одинаковые методы с незначительными вариациями. Сущность процедуры показана на рис. 9.21, где на вход подается псевдослучайная двоичная перемен­ ная, генерируемая любым описанным выше методом. Следующий этап — генерация точно такой же псевдослучайной двоичной пере­ менной, но запаздывающей на временной интервал яА. Это запазды­ вание может осуществляться самыми разнообразными способами. Запаздывающая псевдослучайная переменная затем умножается на выходную функцию системы для получения взаимной корреляции между входом и выходом. Поскольку запаздывающая входная пере­ менная является псевдослучайным двоичным сигналом и обычно смещена так, что двоичные уровни равны, но противоположны по знаку, операция умножения легко выполняется переключающими либо электронными, либо механическими устройствами. Усредне­ ние выполняется интеграторами, ЯС-контурами или операционными усилителями.

Коррекция боковых полос псевдослучайной двоичной перемен­ ной. Чтобы определить истинную импульсную переходную функ­ цию, следует уточнить влияние отрицательных боковых полос. Это можно сделать довольно просто, так как псевдослучайный сигнал и его автокорреляционная функция являются детерминиро­ ванными.

264