Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

сигнала, например такого, как показано на рис. 10.3, е, в допол­ нительный информационный канал и использование изменения знака этой переменной как признака начала нового цикла.

§ 10.4. Цифровая фильтрация

Общие соображения. Цифровая фильтрация применяется для подавления определенных частот в информации, которая выражена в цифровой форме. Ее преимущество перед чаще используемой ана­ логовой фильтрацией в том, что вырезаемая частота может быть сделана как угодно узкой простым выбором соответствующего ме­ тода счета. Раньше принципиальным недостатком метода было не­ обходимое большее счетное время. Во многих случаях был неболь­ шой выбор данных, уже записанных в цифровой форме и содержа­ щих частотные составляющие, которые должны быть подавлены, чтобы избежать наложения частот. Однако разработанные недавно рекурсивные методы, включающие обратную связь, значительно сократили потребление машинного времени.

Процесс фильтрации, или сглаживания, основан на предполо­ жении, что требуемая информация может быть отделена от нежела­ тельных шумов на основе частотной дискриминации. Поскольку предполагается, что информация состоит в основном из низкочастот­

тельностей сглаживающего фильтра выглядела гладкой. Например, выходные временные последовательности, представляющие нейт­ ронный поток в ядерном реакторе, нужно дифференцировать, чтобы получить реактивность реактора. В процессе дифференцирования усиливаются высокочастотные шумы. Таким образом, реактивность, полученная расчетом, использующим дифференцирование кажу­ щихся гладкими временных выходных последовательностей, пред­ ставляющих нейтронный поток, может содержать большое коли­ чество шумов. Поэтому, если результирующие измерения ДОЛЖНЫ быть плавными, фильтр, который сглаживает данные, соответст­ вующие нейтронному потоку, должен сильно ослаблять высоко­ частотный шум, не искажая низкочастотную информацию.

Цифровая фильтрация временных последовательностей. Для лучшего понимания фундаментальных процессов, составляющих цифровую фильтрацию, рассмотрим фильтр, структурная схема которого показана на рис. 10.5, где х (t) — нефильтрованный входной сигнал, у (t) — фильтрованный выходной сигнал, h (t) — импульсная переходная функция фильтра. Фильтрованный вы­ ходной сигнал может быть получен с помощью интеграла свертки:

280

Для простоты обсуждения на рис. 10.6 представлена характе­ ристика идеального фильтра (усиление равно 1 в интервале частот от —со0 до +со„ и 0 при | со | > со0). Рассмотрение отрицательных частот удобно математически, хотя они не имеют физического смысла в любой реальной системе. Соответствующая импульсная переходная функция (возможно, в данном случае более удачным

термином является весовая функция) h(t) определяется интегра­ лом Фурье функции, показанной на рис. 10.6, т. е.

— о о

Поскольку Я (со) равна 0 всюду, кроме интервала от —со0 до +со0,

и учитывая, что Я (со) симметрична (поэтому исключено влияние

представленному на рис. 10.7. Весовая функция определена от — оо до + оо во временной области, поэтому нужно обрезать ряд на конечном времени.

Для цифровой фильтрации необходимо свернуть импульсную переходную функцию, определяемую уравнением (10.7) с входными данными, согласно теореме, выраженной уравнением (10.3). По­ скольку весовая функция распространяется от — оо до + оо, дли­ на записи должна быть бесконечной. Однако физически это не имеет смысла, поэтому идеальный фильтр, показанный на рис. 10.6

281

(иногда называемый фильтром типа «товарного вагона»), также физически нереален.

Цифровая фильтрация осуществляется преобразованием сверт­ ки в уравнении (10.3) в цифровой форме. Если информация состоит из цифровых выборок, разделенных друг от друга А секундами, а весовая функция фильтра из дискретных точек, также отстоящих на А секунд, преобразование свертки может быть выражено урав­ нением

м

где М — число точек в положительной или отрицательной полу­ плоскости. Процедура фильтрации иллюстрируется рис. 10.8. На

точка, при условии, что к результирующим значениям применено соответствующее взвешивание. Поэтому первые М точек записи ин­ формации обычно отбрасываются. Это относится также и к послед­

пример, если в начальной записи имеется 1000 точек и весовая функ­ ция представлена в каждой полуплоскости 50 точками, то в фильт­ рованной записи будет только 900 точек.) Очевидно, что существует оптимальное отношение N к М в любой данной ситуации, так как точность измеренных в опыте параметров непосредственно связана с длительностью опыта, в то время как качество фильтрации зави­ сит от длины весовой функции.

Резкий обрыв весовой функции при некотором произвольном максимальном времени МД или количестве точек, как показано на рис. 10.8, б, неблагоприятно отражается на ослаблении некоторых частотных компонент ниже со0 и ведет к пропусканию некоторых частотных компонент выше (o0. Хотя полностью искажения избе­ жать нельзя, его можно уменьшить правильным выбором и ис­

вую. Эта функция спадает до нуля при некотором максимальном вре-

282

мени tm. Поскольку требования к /г2 (t) почти те же, что и к окнам запаздывания, применяемым при расчете спектра мощности (т. е. преобразование Фурье # 3 (со) должно быть очень малым вне за-

Рис. 10.8. Дискретная переменная и весовая функ­ ция:

а — дискретная переменная xi; б — дискрет­ ная весовая функция (М=12).

данного интервала частот), Балкомбом [1] было предложено исполь­ зовать окна Хеннинга:

'Рис. 10.9. Последовательное соединение двух

фильтров.

где tm — произвольный временной предел, выбранный так, чтобы уменьшить ту часть h2 (t), которая должна быть отброшена. Преоб­ разование Фурье h%(t) дает передаточную функцию второго фильтра:

которая эквивалентна уравнению (6.52) и показана на рис. 10.10. Поскольку две весовые функции hx и /г2 умножаются друг на друга

2 8 з

во временной области, две импульсные переходные функции, пред­ ставленные на рис. 10.6 и 10.10, должны быть свернуты, давая функ­ цию частотной характеристики или функцию фильтра, показанную на рис. 10.11. Из этого рисунка видно, что для частот, меньших со0 — (л / 2 1 ^ , информационный сигнал почти не нарушен, в то время как для частот, больших <в0 + (я/2/т ), частотные составляю­ щие сильно ослаблены. В промежуточной области величина ослаб­ ления зависит от частоты, как показано на рис. 10.11. Определим col и &н как

Когда рассмотренная филь­ трующая система применяет­ ся для предотвращения на­ ложения частот, /я можно принять равной половине скорости выборки, исключая

этим все частоты, большие /я, так как при этой частоте пропуска­ ние фильтра почти равно нулю. Если принять fH равной половине скорости выборки, коэффициент г, рассчитываемый по формуле

определяет используемую долю теоретической полосы частот. По мере приближения г к 1, требуемое число точек весовой функции стремится к бесконечности, так как это означает бесконечно длинную весовую функцию. Действительное число точек весовой функции М [предел суммирования в уравнении (10.8)], определенное Балкомбом [1], равно

Однако поскольку принято, что /я равно 1/2Д, уравнение (10.16) превращается в

Нетрудно видеть, что существует оптимальное значение г, так как машинное время пропорционально М, в то время как полученная

284