информация пропорциональна коэффициенту г. Таким образом, ин формация, полученная на единицу машинного времени, пропор циональна величине г (1 — г). Эта функция имеет максимум при
г = 1/2, т. е.
f L = f e l 2- |
(10.18) |
Значения г, использованные для фильтрации, |
могут изменяться |
в большую или меньшую сторону от оптимального значения, рав ного 1/2, в зависимости от того, делается ли больший упор на максимум получаемой информации или на уменьшение требуемого машинного времени.
Рис. 10.11. Частотная характеристика реально го фильтра [1].
В предыдущем обсуждении полагалось, что фильтрованная функ ция имеет количество выборок в единицу времени то же, что и исход ная функция. Если это не так, расчеты, представленные уравнением (10.8), выполняются для каждой у-й точки, где q — отношение ин тервала выборки фильтрованных данных к интервалу выборки исходных данных. Следует отметить, однако, что частотное содер
жание дискретного |
сигнала не должно превышать |
половины |
от скорости |
выборки |
фильтрованного сигнала. Таким |
образом, |
и /я и ft в |
q раз меньше идентичных скоростей выборки. Однако |
весовые функции из-за содержащихся низких частот должны рас пространяться на длительный период времени и точки весовой функ ции должны быть расположены с интервалом времени qA.
Расчет цифрового фильтра. Описанный выше метод взвешивания прост и имеет много применений, но часто оказываются необходи мыми очень резкие фильтры или фильтры специальной формы. Тогда применяются более сложные процедуры. Общий подход, разработанный Ормсбй [2], для расчета цифровых фильтров обоб щен здесь для нескольких частных случаев, представляющих интерес.
Разработка линейных операций с точки зрения дискретной во времени весовой функции фильтра основана на подгонке соответ ствующей функции частотной характеристики фильтра к предпо-
лагаемой форме; при этом используется предположение, что спектры больших и практически длинных желательных и нежелательных сигналов не перекрываются. Это предположение делает операцию сглаживания частью классической проблемы создания фильтра, пропускающего определенную частоту. Для бесконечного вре менного предела частотная функция Я (со) и непрерывная или диск ретная весовая функция h (t) образуют пару преобразований Фурье. Для конечных временных пределов выбирается конечный ряд весов hn, частотная функция которого подгоняется методом наименьших квадратов к предполагаемой частотной функции. При этом полу чается система совместных интегральных уравнений, решением
Рис. 10.12. Спектральная функция для класса ли нейных фильтров:
— (угловая) частота |
среза, равная |
2 л /0; |
(о/./ — предельная частота |
пропускания |
[2]. |
которой является зависящее от времени обратное преобразование Фурье предполагаемой частотной функции. Получаемая частотная функция, связанная с конечным рядом весов, в этом случае имеет минимальную среднеквадратическую ошибку по отношению к предполагаемой частотной функции.
Получены различные формулы, описывающие веса, в зависи мости от формы спада частотной функции. Общие полиномиальные формы среза дают весовые функции, обеспечивающие высокую степень ослабления. Для фильтров, имеющих передаточную функ цию Я (со), спектральная или частотная функция с единичным усилением и нулевым фазовым углом в полосе пропускания пред ставляет кривую ослабления р-го порядка между полосами про пускания и подавления и показана на рис. 10.12, где сод и соя— частота среза и предельная частота пропускания соответственно. Математически это можно выразить следующим образом:
0 |
(|со |> СОя), |
|
1 |
(|со|<соД , |
|
Я(со) = |
( — С0Я < С 0 < — СОд), |
(10.19) |
(COL<CO < СОя).
Для частного случая, в котором р = 1, кривые участки рис. 10.12 становятся прямыми линиями, что указывает на линейный спад амплитуды с частотой. Для этого случая импульсная переходная функция, или весовая функция фильтра, полученная преобразо ванием Фурье уравнения (10.19) при р = 1, равна:
|
COS С О |
—COS СО я t |
Л(*) = |
|
( 10. 20) |
|
я (соя - coL) |
Весовая функция может быть легко найдена с помощью равно удаленной выборки. Оценка с использованием весов Фурье дает минимальную среднеквадратическую ошибку между передаточной функцией фильтра с конечным числом весов и предполагаемой пере даточной функцией в интервале | со | между 0 и половиной частоты выборки. Определим нормированную частотную переменную
к = со/cos = flfs, |
(10.21) |
где cos — эффективная угловая частота выборки и |
f s — частота |
выборки данных. Затем можно найти kL и кн : |
|
^ = CDX./CDs = /l //s |
(10.22) |
^tf = <jWWs= /W/s. |
(10.23) |
и, кроме того, определить kD как разницу между кн и kL, т. е. |
ко = ки —kL—(сон —wl)/ws= (f.H—h)lfs. |
(10.24) |
Дискретная весовая функция в соответствии с уравнением (10.20) теперь имеет вид
h (пА) = |
cos 2л nkL — cos 2лпХн |
(10.25) |
|
2kD (ял;2 |
где /г = 0, ± 1 , ± 2 ........ |
± N. |
Величина XD, которая определяет крутизну спада (чем меньше kD, тем круче спад), вместе с числом весов N указывает на резуль тирующую точность Н (со). Точность уменьшается для меньших значений ко и (или) меньших N.
Результаты, полученные Ормсби [2], типичные для эффектив
|
|
|
|
|
|
|
|
ности такого рода фильтров, показаны на рис. |
10.13, где kD = |
0,02, |
W = 50 и kL = |
0,10. При этом максимальная |
погрешность пропус |
кания |
< 0,25% |
до значения к — 0,081, а максимальная |
погрецр |
ность |
подавления (по |
отношению к единице) < 0,25% |
для к > |
> 0 ,1 3 9 . Эффективное |
значение kD с учетом этих погрешностей |
равно 0,058. |
При максимальных погрешностях пропускания |
и по |
давления < |
0,5% получим эффективное значение kD, равное |
0,038, |
т. е. полоса |
пропускания до к = 0,091 и полоса подавления для |
к свыше 0,129. График характеристики фильтра этой конструкции дан на рис.. 10.13 сплошной линией.
Расчет фильтра с р = 1 предполагает разрывы производной Н (со) при со£, и сояНаибольшие погрешности в полосах пропуска ния и подавления имеют место около этих точек. Модификация принятой спектральной функции между ю^, и ©я для удаления раз рывов производной позволяет уменьшить погрешность подгонки
или |
увеличить крутизну |
спада при той же погрешности. |
Это мо |
жет |
быть |
сделано |
путем |
параболического сглаживания |
в окрест |
ностях |
и сон, |
как показано на рис. 10.14. Параметр |
k |
позво- |
Рис. 10.13. Частотная характеристика фильтра с Р = 1 [2] •
ляет семейством парабол охватить различные значения интервала ©я — ©l- Входящие в уравнения параметры а, с и е могут быть вы ражены через k, чтобы удовлетворить условиям рис. 10.14.
Кривая |
1: |
|
Я(©)=1 —а (со—©L)2, (ац <1со ^ ац,+ &Дсо). |
(10.26) |
Кривая |
2: |
|
|
Я (ю) = си + е, (©l + M© ^ со ^ ©я— Мю). |
(10.27) |
Кривая |
3: |
|
|
Я (©) = а(© —©я)2, (©я—/гДсо^ю ^© я ), |
(10.28) |
где |
Д© = ©я—©L- |
(10.29) |
|
Параметры а, с и е равны |
|
а — —M2k (1 — k) (Л©)2, |
(10.30) |
с — —1/(1 — k) Асо, |
(10.31) |
е = [2сох + (2 — А) Дсо]/2 (1 — k) Ди. |
(10.32) |
Из этих соотношений можно получить выражение для дискретных весовых функций модифицированных фильтров с р = 1:
h («А) = {sin 2яп ['Kl + (1 —k) A,D] |
+ sin 2яп ( ^ + |
k%o) — |
— sin2n/?lw — sin2nnAi.}/4 |
£(l — k)Xb (гаг)3. |
(10.33) |
Рис. 10.14. Спектральная функция • модифицирован ного фильтра с р = 1 [2 ].
Эти фильтры являются фазовыми фильтрами низких частот. Кроме того, существуют квадратурные фильтры (которые произ водят постоянный фазовый сдвиг на ±90°), полосовые фильтры и фильтры высоких частот, удобные во многих применениях. Простая схема для получения эффекта пропускания высоких частот состоит в вычитании дискретного выходного сигнала фильтра из дискретного входного сигнала; полосовой эффект может быть полу чен вычитанием выходных сигналов двух фильтров низких частот с различной полосой среза. На практике используется единствен ный фильтр, который имеет весовую функцию вида
h (пА) = hx («А) — й2 (пА), |
(10.34) |
где (яД) и h2 (яД) — веса двух фильтров низких частот, име ющих частоты среза соответственно.^, и %L„ (kLl > A-zJ• Квадра турные фильтры могут быть рассчитаны подобным же образом, только для получения весовой функции из импульсной переходной функции по уравнению (10.19) используется синусоидальное пре образование Фурье.
