Фильтр на 1/3 октавы. Фильтр, составленный из двух резони рующих систем второго порядка, удаленных друг от друга на выбранную частоту, образуя полосовой фильтр с шириной полосы частот на уровне — 3 дб, равной 1/3 октавы, называется фильтром на 1/3 октавы. Негрон ГЗ] провел спектральный анализ, исполь зуя цифровую форму фильтра на 1/3 октавы.
Уравнение фильтра в s-области имеет вид
H(s) = - ----------------- |
^ |
----------------— , |
(10.35) |
(sa + 2|со1 s+ со?) (s2 + 2|а2 s + а 2) |
|
где |
|
|
|
а х = |
2jtfc(1 —А//2); |
(10.36) |
со2 = |
2л/с (1 + |
Д//2); |
(10.37) |
£ — декремент затухания; / с — средняя частота полосы пропуска ния; Д/ — ширина полосы пропускания. Значения £ = 0,05 и и Д /= 0,170 гц были получены эмпирически для фильтра на 1/3 октавы. Подставив s = ja , усиление передаточной функции урав нения (10.35) можно записать так:
|
|
|
о |
2 |
|
|
|Я ( а ) | |
|
|
Щ СО |
|
(10.38) |
|
(гг&ца)2] [(а| —а 2)2 + |
(2£а2а)2]}1/2 |
{[(а?—а 2)2 + |
|
Относительный |
минимум |
имеет место при среднегеометрической |
частоте: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а « |
У щ а 2, |
|
(10.39) |
где амплитуда |
|
|
|
|
|
|
| Н (У © 1 со,) | = |
|
а; |
|
(10.40) |
(ai—а 2)2 + 4|2 ai аг |
Относительные |
максимумы имеют |
место при |
а = а х и а |
= а 2> |
и в обоих случаях амплитуды равны |
|
|
\Н К ) |
| = | Я (со2) | = |
|
as |
|
(10.41) |
|
|
|
2£ [(co |-« f)2+ 4 |2 а! а 2]1/2
Амплитуда нормируется на 1 делением на среднее геометриче ское максимума и минимума, определяемых уравнениями (10.40) и (10.41), т. е. уравнение (10.38) делится на
Л = |
1 / | Я ( У а 1а 2) | | Я ( а 1)| = |
|
|
0>2 |
|
2| [(ах— а 2)2+ |
4 |2a ia 2] [(col — а?)2 + 4£2 а 2 а |] 1/2 |
( 10-42) |
Следовательно, нормированная амплитуда передаточной функции становится равной
_ 2 (о2 1 [(ац— Юг) 2 + |
4| 2 дц (Ogl [(tol — C0 i) 2 + |
(2 ^ 2 сохCQg) l 1 ^ 2 |
4 3 ^ |
coi {[(со| — СО2)2 + |
(21® !со)2] [(®2 — со2)2 + |
(2|со2 со)г ] } 1/2 |
|
Это выражение было реализовано на цифровой вычислительной ма шине Негроном [3], графики усиления фильтра и фазового угла
,1 /3
—октавы
-0,3 |
-0,2 |
-0,1 |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
Рис. 10.15. Амплитуда и фаза фильтра в 1/3 ок тавы [3].
приведены на рис. 10.15. Для реализации расчета фильтра был ис пользован рекурсивный метод, изложенный в следующем пункте. Выбор фильтра на 1/3 октавы оказался удобным из-за подобия его фильтрам аналогового типа. Цифровые фильтры с более плоскими и более острыми частотными характеристиками могут быть построе ны рекурсивными методами.
Рекурсивные фильтры. Рекурсивные фильтры (иногда называе мые фильтрами обратной связи, потому что часть выходных данных подается на вход и усредняется с входными данными) гораздо более эффективны, чем обычные цифровые фильтры при проведении сгла живания или фильтрации данных, так как обычно для достижения заданной степени фильтрации требуется меньше времени. Типичное
выражение для метода цифровой рекурсивной фильтрации имеет вид
Ук = 2 |
2 bt yk- и |
(10.44) |
( = 0 |
i = l |
|
где сг и bt — весовые коэффициенты. Уравнение (10.44) представ ляет собой преобразованный вариант обычного выражения цифро вой фильтрации:
р |
|
Уь= 2 h^Xk+i + Xk-i), |
(10.45) |
i =0 |
|
где hi — дискретные значения конечной импульсной переходной функции
fc
h(t)=-^— |
'i Н (со) exp (jco/)dco. |
(10.46) |
2л |
J |
|
|
0 |
|
Одним из простейших рекурсивных фильтров является линей ный фильтр с одной степенью свободы вида
У ^ х ^ а у ы + ауы, |
(10.47) |
который легко реализуется на цифровой вычислительной машине. Может оказаться необходимым экспериментально определить соот ветствующие значения коэффициента а, чтобы достичь требуемой фильтрации.
Еще одним цифровым фильтром, который бывает полезным в оп ределенных приложениях, является гамма-фильтр, разработанный Корнелльской авиационной лабораторией [41. Уравнение фильтра имеет вид
0 * = ( 1 - 7 ) 0 i - i + U - Y / 2 ) ( * , - * , - i ) , |
( Ю . 4 8 ) |
где у — характеристическая постоянная фильтра.
Метод рекурсивной фильтрации, использованный Негроном [3J, применительно к фильтру на 1/3 октавы описывается уравнением
yi = Axn+ Bxn- 1+ C x n- t +D3t:n- 3— |
|
— ЕУп-1— РУп-2— ОУп-з— Нуп- 4, |
(10.49) |
где коэффициенты А —Н являются коэффициентами, |
выраженными |
в величинах Z в Z-преобразовании передаточной функции нормиро |
ванного фильтра уравнения (10.43) |
после того, как оно приведено |
к рациональной полиномиальной |
форме, даваемой |
выражением |
H(Z)=Y(Z)IX(Z) =
= (AZ° + BZ~X+ CZ-2 + DZ-3)/(Z° + EZ~X+ FZ~2+ GZ~3 + HZ~4). (10.50)
§ 10.5. Статистический анализ
Цифровой статистический анализ временных последователь ностей, получающихся при цифровом преобразовании эксперимен тальных данных, является простой процедурой. В библиотеке программ имеется ряд соответствующих программ общего назначе ния для вычислительных машин; еще большее число специальных программ используется в отдельных установках. Не будем подробно описывать эти программы, так как они изменяются в зависимости от специфики программы и. установки, а приведем описание мате матических соотношений, выраженных в цифровой форме, которые используются в этих расчетах.
Данные могут быть получены непосредственно из эксперимента или записаны на магнитную ленту и воспроизведены. Они преобра зуются в цифровую форму, как описано в гл. 8, и передаются в циф ровую вычислительную машину с помощью перфокарт, магнитных лент, магнитных барабанов или бумажной ленты или вводятся через дистанционный пульт управления. Результаты используются в виде временных последовательностей, полученных при выборке данных, производимой, как правило, через постоянные интервалы времени А сек. Ниже описаны последующие операции, производимые в ти пичных программах статистического анализа, таких, как RAVAN [5], MAC/RAN [6] или VAC [7]. Более обширный обзор дан Бендатом и Пирсолом [8].
Статистические моменты. Среднее значение выборки рассчиты вается из данных по выражению
' (Ю.51>
где N — количество выборок данных, a i — индекс каждой выборки (t = 1 ,2 .......N), соответствующий временному интервалу выборки. Среднее значение выборки вычитается из каждого значения выборки
и среднеквадратическое отклонение S выборки, или второй цен тральный момент, получается из выражения
5 = ] / " 2 |
z f l { N - 1) или S2 = ^ z U ( N - l ) , (10.53) |
r <=i |
г= 1 |
где S2— дисперсия выборки. Показатель асимметрии Cs рассчи тывается из соотношения
N |
|
Cs= 2 z y N S 3. |
(10.54) |
i= i |
|
