Файл: Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1.pdf

единичных перемещений 6/IV надо определить сосредоточенные массы rrik— Qh/g и построить матрицу вида:

^2^12* •*

^ о ^ 2 2 * * * ^ n ^ 2 r t

[nZjBftvjfcv —

_mi^m " l i l : - '« А » .

Далее, для этой матрицы нужно определить первые г собствен­ ных чисел %г и координаты соотвествующих собственных векторов Xih (£= 1, 2, п; i = l , 2, ..., г; г — число собственных форм, учиты­ ваемых в расчете). Последние непосредственно определяют (с точ­ ностью до постоянного множителя) амплитудные коэффициенты, т. е. ординаты соответствующих форм собственных колебаний в точках прикрепления сосредоточенных грузов: Xik = CXi(Xk) (С — произвольный множитель). Собственные периоды выражаются через собственные числа формулой (11.21):

T ^ n V h -

Основная сложность здесь состоит в определении собственных чисел и собственных векторов. Известно, что для определения соб­ ственных чисел служит следующее характеристическое (вековое) уравнение:

В развернутом виде оно представляет относительно К алгебраи­ ческое уравнение п-й степени, все п корней которого вещественны, положительны и отличны друг от друга. Эти корни (собственные числа) занумерованы в убывающем порядке: ^1>Я,2...>Я,П.

При известных собственных числах координаты собственных векторов определяются из следующей системы линейных однород­ ных алгебраических уравнений:

X п -\-m2bi2X 12- \ - . . . + тпЬ1пХ 1п = 0;

т\Ъ2\Хп-\-{т$22 — М А-2 + ••■ mnhnX i„— 0;

(VI.4)

п -\-т$ пгХп-\- ■■■- Н ^ А л ^i ) X ln — 0

i = 1, 2 , . . . , tt.

160

где т, Q — масса и груз системы, б — единичное гори­ зонтальное смещение точки их прикрепления.

Для системы с двумя степенями свободы (рис. VI.3) из (VI.3) получаем квадратное уравнение, корни которого определяются вы­ ражением

Согласно уравнениям (VI.4), амплитудные коэффициенты мож­ но записать так:

/7^2^12

Для сокращения вычислений можно использовать вспомогатель­ ные графики [2]. С их помощью собственные периоды и амплитуд­ ные коэффициенты выражаются формулами:

^2^12

Здесь ер,, йг2 — безразмерные множители, определяемые по графикам рис. VI.4 в зависимости от следующих параметров системы:

Графики -составлены в предположении, -что нумерация точек си­ стемы удовлетворяет условию m2622</'^i6iь что всегда возможно.

При числе степеней свободы /г = 3 желательно (а при п> 3 необ­ ходимо) прибегнуть к вычислениям на ЭЦВМ. Для этого исполь­ зуют стандартные программы определения собственных чисел и координат собственных векторов квадратных матриц, которые поз­ воляют непосредственно получать искомые величины [114, 129].

Рис. YI.4. Графики для определения периодов и форм колебании системы с двумя степенями свободы

Формы собственных колебаний обычно нормируют, т. е. опреде­ ляют произвольный множитель С амплитудных коэффициентов по

какому-либо условию, Например, используются условия

П

АТЛ= 1 или ^ Qj.A’b = 1; в последнем случае упрощаются выра- *=i

жения (11.32) для коэффициентов формы.

Для проверки правильности вычисления амплитудных коэффи­ циентов можно использовать условия ортогональности (11.23). Вследствие неизбежной неточности расчетов эти условия удовлет­ воряются лишь приближенно, однако для каждой пары индексов

с суммой У, Qk \XikX jk\.

к=1

В предыдущем параграфе было отмечено, что в некоторых слу­ чаях достаточно определять только основную (первую) форму и соответствующий период Т\. Их можно вычислить без применения ЭЦВМ с помощью метода последовательных приближений [6, 44] или метода спектральной функции [51]. Такие расчеты выполняют на механических или электрических арифмометрах. Приближенные значения основного периода и формы можно получить на основе энергетического метода [44, 51]. Последовательность вычислений такова: сосредоточенные грузы Qk прикладывают к расчетной схе­ ме в горизонтальном направлении и определяют смещения точек /е от этой нагрузки:

v=l

1G2

Эти смещения принимают за приближенные значения ординат формы основного колебания (yit = X\и)- Период основного тона оп­ ределяется по формуле энергетического метода:

Следует иметь в виду, что фактические деформативные свойства сооружения и его основания в расчетах всегда отражаются с из­ вестной долей приближения, что вносит погрешность в вычисления собственных периодов. Поэтому рекомендуется оценивать порядок величины собственных периодов, полученных в результате расчета, по данным натурных испытаний аналогичных сооружений Некото­ рые такие данные приведены в гл. III.

§ VI.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА И ВОДЫ

Сейсмическое давление грунта на подпорные сооружения явля­ ется предметом многочисленных исследований. Мы не имеем воз­

В общем случае сейсмическое давление грунта—-результат ди­ намического -взаимодействия подпорного сооружения и грунтовой засыпки. Интенсивность и распределение давления должны зави­ сеть от сейсмических колебаний самого сооружения. В такой поста­ новке исследование сопряжено с большими трудностями. Обычно рассматривают два крайних случая, соответствующие податливому и иесмещающемуся (абсолютно жесткому) сооружениям (прегра­ дам). В первом случае предполагается, что сооружение испытывает значительные смещения, приводящие к образованию поверхностей скольжения -в грунте. Тогда исследуют предельное равновесие сы­ пучей -среды с учетом дополнительного влияния объемных инерци­ онных сил. Для идеальной сыпучей среды может быть использова­ но решение Кулона. Расчетные формулы, полученные таким обра­ зом, в упрощенном -виде были представлены Ш. Г. Напетваридзе [93]. Активное и пассивное давления грунта при сейсмическом воз­ действии по этим формулам выражаются соответственно следую­ щим образом:

£ (oac>= (l+ 2 /C ctg<p)£(a); 4 c ) = ( l - 2 / T ct g ? ) f ° ,), . (VI. 12)

где Е&\ £<п) — активное и пассивное давление грунта при отсутстствии сейсмического воздействия; ср — угол внутреннего трения грунта; Кс — коэффициент сейсмичности (см. § VI.2).

Рис. VI.5. Схемы к определению сейсмического давления грунта на абсолютно жесткую опору

Сейсмическое (инерционное) давление грунта на несмегцающуюся преграду (второй крайний случай) было исследовано А. В. Рухадзе [118, 119]*. Им использованы формулы для опреде­ ления напряженного состояния сыпучей среды, основанные на мето­ де предельного равновесия. Решение, полученное численными мето­ дами, табулировано. Эпюры давления на ограду представлены прос­ тыми аппроксимирующими выражениями. Ниже даются оконча­ тельные расчетные формулы.

Сейсмическое (дополнительное) активное горизонтальное дав­ ление от веса засыпки с горизонтальной поверхностью на верти­ кальную ограждающую стену показано на рис. VI. 5, а. Интенсив­ ность давления

Равнодействующая давления на единицу ширины стены

Плечо равнодействующей давления от основания стены

Сейсмическое давление от веса вертикальной нагрузки на поверхности засыпки, сосредоточенной в направлении поперек стены и равномерно распределенной вдоль ее длины (рис. VI. 5, б):

* Расчеты выполнены в Институте строительной механики и сейсмостойкости АН Грузинской ССР под руководством проф. Ш. Г. Напетваридзе.

164