Файл: Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность.pdf

число Рейнольдса Re.^. растет быстрее, чем действительная величина числа Рейнольдса потока, т. е. имеют место условия:

На рис. 4.3 показано изменение положения критической точки, полученной из решения уравнения (1.6.8), с увеличе­ нием степени заполненности профиля скоростей. Как видно, с увеличением числа Рейнольдса в закритнческон области критическая точка для коротковолновых возмущений быстро приближается к стенке канала на расстояние порядка толщи­ ны вязкого подслоя турбулентного потока. Это обстоятельство можно рассматривать как одно из свидетельств существенной роли молекулярного трения в формировании устойчивости закритических профилей скоростей. Оказывается, что сущест­ вует множество таких профилей, устойчивых в смысле обыч­ ного анализа уравнения малых возмущений.

4.4. Критерий выбора

физически реализуемого профиля скоростей

Проблему квазиламннарной устойчивости осредненного турбулентного течения впервые поставил В. Малкус [312], предположив, что реальный турбулентный профиль скоростей

В. А. Сапожникова и В. Н. Штерна [54, 55]. Тем не менее ги­ потеза о возможности пренебрежения влиянием малых воз­ мущений осредненной скорости течения на рейнольдсовы напряжения, как показано выше, оказалась разумной.

С точки зрения теории консервативности осредненного турбулентного течения естественно предположение о том, что в природе из множества виртуальных течений с устойчивыми закритическими распределениями скоростей реализуется тече­ ние наиболее консервативное, т. е. наиболее устойчивое по отношению к внешним возмущениям. Такой выбор, назван­ ный принципом максимальной устойчивости, был предложен М. А. Гольдштиком [48, 181]. Для практического применения этого принципа необходимо ввести некоторый функционал,

60

являющийся представительной мерой устойчивости в рас­ сматриваемом здесь смысле, и выделить нужный класс профилей скоростей с варьируемыми коэффициентами.

Для квазиламинарного приближения в качестве критерия предложены функционалы [181, 48, 51]:

о

Проблема сводится к отысканию функции и ( | ) , дважды дифференцируемой, удовлетворяющей условиям прилипания на стенке и постоянства расхода по каналу:

а также необходимому экстремальному значению критерия выбора.

Для критерия П условие выбора имеет вид [181, 48]

шю ce

Критерий / имеет смысл действия возмущающего движе­ ния. Действительно, кинетическая энергия движения, вызванного скачкообразным положением возмущения скорости тече­ ния и', равна

61

2

Основной вклад в интеграл / дают коротковолновые и длинноволновые возмущения. При этом оказывается, что минимуму действия возмущения в смысле (4.4.2) соответствует максимально устойчивый профиль скоростей в смысле (4.4.1). Однако зависимость функционала П от параметров потока не всегда гладкая, что вызывает определенные трудности при вычислениях.

На рис. 4.4. показана зависимость [(у.) для модельного закона вязкости по формуле (4.3.2). Минимуму функционала (4.4.2) соответствует значение % = 0,395, хорошо совпадающее с экспериментальными определениями константы Прандтля — Кармана.

4.5. Энергетический критерий масштаба вязкого подслоя

Исследования устойчивости ламинарных течений показа­ ли, что низшую оценку по числу Рейнольдса дает не метод ма­ лых возмущений, а энергетический метод [308, 360, 362]. Такой подход оказался справедливым и при выборе критерия устойчивости турбулентного течения по отношению к малым возмущениям. Область вязкого подслоя может в определен­ ном смысле рассматриваться как ламинарное течение, под­ вергающееся весьма интенсивным внешним возмущениям, поступающим в виде турбулентных пульсаций из ядра по­ граничного слоя. В качестве соответствующей оценки рас­ смотрим, следуя Карману и Лоренцу [282, 308], значения энергетического критерия устойчивости в плоском ламинар­ ном потоке с наложенным на него произвольным распределе­ нием скоростей возмущающего движения {и', ѵ').

62

Энергия, переходящая из основного поля в поле возму­

Проблема в постановке Орра [325] и Кармана [282] сводится к отысканию распределения скоростей (и', ѵ'), при которых энергетический критерий устойчивости Лоренца — Кармана

иіУі (4.5.3)

u'v'dxdy

минимален. Здесь принято линейное распределение скоростей и{у), которое практически и имеет место в вязком подслое при течении в канале и вдоль пластины. Минимальное зна­ чение числа

очевидно, соответствует в данной постановке наиболее опасно­ му возмущению.

и внутри области

Эта вариационная задача сводится к исследованию урав­ нения

63