Файл: Кутателадзе, С. С. Пристенная турбулентность.pdf

Подставляя значение i'v' в (2.2.11), находим, что в газе относительное влияние пульсаций плотности на турбулентное трение имеет порядок

i0 {U — UJ

- ^ О , - £ - » 0 , с , - ^ 0 ;

(5.3.3)

Отсюда

т. е. в пограничном слое с исчезающей вязкостью уменьшает­ ся и влияние пульсаций плотности на турбулентное трение.

5.4. Относительный закон трения

Введем относительное изменение коэффициента трения

на Cf0 зависит только от числа Рейнольдса и сопоставление коэффициентов трения (5.4.1) должно проводиться только при условии Re=idem. Однако выбор характерного значения этой

70

этого обстоятельства для теоретического анализа замечена довольно поздно [102].

Формула (3.3.10) может быть распространена на течение сжимаемой жидкости введением множителя ß, учитывающего

Приведем формулу (5.4.3) к безразмерному виду и пере­ пишем в следующей, на первый взгляд, несколько искусствен­ ной форме:

(5.4.4)

где g = -iL — относительное расстояние от стенки в данном

сечении пограничного слоя; / = — безразмерна я длина пути

смешения; р = 4 относительная плотность среды в точке g;

Po

<r = — — относительное касательное напряжение в точке g;

размерная координата и скорость на условной границе вязко­ го подслоя. Отсюда сразу следует, что

(5.4.5)

При вычислении (5.4.5) в случае очень больших чисел Рей­ нольдса отпадают трудности, связанные с неопределенностью границы вязкого подслоя.

Более детального рассмотрения требует поведение при больших значениях Re функции

(5.4.6)

Si

Входящее в подынтегральное выражение распределение касательных напряжений на эталонной пластине то и длина пути смешения I для данных конкретных условий (на это

71

обстоятельство следует обратить особое внимание) ограни­ чены пределами:

Левый предел обусловлен консервативностью константы Прандтля — Кармана, а правый — формальным определени­ ем пограничного слоя конечной толщины ( у - > б , т-»-0).

Вследствие этого можно написать, что

Отсюда, согласно (5.2.4), (5.2.5) и (5.3.4), имеем

При течении без градиента давления толщина вырожденного вязкого подслоя убывает обратно пропорционально числу Рейнольдса и, следовательно,

Соответственно

Этот интеграл получен автором совметно с А. И. Леонтье­ вым [102]; он называется предельным относительным зако­ ном трения. В этом смысле можно говорить об асимптотиче­ ской теории турбулентного пограничного слоя. Замечательная особенность этого закона та, что в своей общей форме он не содержит каких-либо эмпирических характеристик турбу­ лентности.

Переписав интеграл (5.4.6) с переменным нижним преде­ лом, нетрудно заметить, что он при Re—>-оо из-за вырожде­ ния функций ß ri / описывает профиль скоростей в турбулент­ ном ядре стандартного пограничного слоя:

где ©od) —профиль скорости течения в стандартном погра­ ничном слое. Очевидно, что этот результат имеет силу в лю-

72

бой области значений числа Рейнольдса, если есть дополни­ тельные условия, а именно: ß « ! , функция / зависит только от координаты | . Отсюда следует важная формула

а,

связывающая поле скоростей в заданных условиях с полем скоростей в пограничном слое несжимаемой жидкости, обте­ кающей непроницаемую гладкую пластину.

ется к поверхности пластины. Вследствие этого обстоятельст­ ва интеграл (5.4.9) можно переписать в виде

Возвращаясь к формуле (5.4.11) и учитывая, чтот—|^f-*- 1» можем записать предельный относительный закон трения в следующем, весьма удобном для вычислений виде:

Это выражение можно рассматривать как компактную форму­ лировку одного из фундаментальных свойств турбулентности, связанных с консервативностью пристенного течения.

5.5. Предельный закон трения и теплообмена

при обтекании газом гладкой непроницаемой пластины

Рассмотрим поток с подобными распределениями энталь­ пии торможения и скорости течения. Это означает, что в по­ токе Pr = P r T = l , а граничные условия подобны. В таком слу­ чае плотность идеального газа связана с энтальпией и ско­ ростью выражением

где \р = -: энтальппиныи фактор;

73

характеризует степень неадиабатичности обтекаемой поверх­ ности, она называется фактором теплообмена. При Аір=0 тепловой поток на непроницаемой поверхности отсутствует.

74