ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 1
личных точках вдоль течения. Результаты в виде канониче ского графика £(Re) показаны на рис. 1.17, они свидетель ствуют о последовательном механизме потери устойчивости вдоль такого потока.
ГЛАВА ВТОРАЯ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ДИФФУЗИИ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ
2.1. Уравнение осредненного движения несжимаемой жидкости
Хаотичность актуального движения при турбулентном ре жиме течения отнюдь не означает отсутствие упорядоченности общего движения потока, как и случайность движения от дельных молекул не означает отсутствие строгих закономер
ностей поведения их больших ансамблей. |
|
|
|||
Вследствие этого О. Рейнольде предложил |
описывать |
||||
актуальное |
движение |
в турбулентном |
потоке |
как сумму ос |
|
редненного |
и пульсационного движений |
[182, |
338]: |
|
|
|
~и=й+и'; |
р = р + р ' ; F=F+F'... |
|
(2.1.1) |
|
Осредняя значение некоторой стационарной случайной величины ер за достаточно большой промежуток времени, имеем
|
ФІ |
=-j-^<ç4t; |
ФІ = 0. |
(2.1.2) |
|
|
о |
|
|
Если |
ф — случайная |
функция, |
а ф — математическое |
ожида |
ние, |
то |
|
|
|
|
|
Фіф/=ф,чр/. |
(2.1.3) |
|
В общем случае правило (2.1.3) выполняется приближенно, если за время t функция ф' много раз проходит через нуль.
Подробнее этот вопрос рассмотрен, например, в [149, 163,
182, 236].
Уравнение |
неразрывности в |
терминах (2.1.1) распадается |
|
на уравнения |
неразрывности |
осредненного |
течения (для |
p=const) |
|
|
|
|
§ - + # + § - » |
<2-'-4> |
|
25
и неразрывности пульсационного движения
Из уравнения неразрывности следует:
1 |
I |
Выполняя эти операции |
с уравнением |
Навье — Стокса |
при |
|||||||||||||
р = c o n s t |
и ц—const, |
получим уравнение |
|
движения |
осреднен- |
|||||||||||
ного турбулентного течения в форме |
Рейнольдса: |
|
|
|
|
|||||||||||
* - |
т |
• і,+ѵѵ""' |
|
- * + 1 |
( |
Щ |
|
+ |
< |
|
2 Л |
- |
8 |
> |
||
где g = |
Р |
любое |
распределение |
силового |
воздействия |
|||||||||||
в потоке, например ускорение силы тяжести. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Как видно, формально уравнение осредненного турбулент |
||||||||||||||||
ного течения отличается от уравнения |
Навье — Стокса |
для |
||||||||||||||
актуального |
течения |
появлением |
члена |
|
с |
компонентами |
|
|||||||||
|
|
|
Д |
( і = 1,2,3; / = |
1,2,3). |
|
|
|
|
|
(2.1.9) |
|||||
Сопоставляя эти величины с суммой |
— |
| j ; |
+ |хѵ2"£> |
можно |
||||||||||||
трактовать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ац——рщщ |
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.10) |
|||
как |
компоненты |
турбулентных |
напряжений, |
|
возникающих |
|||||||||||
в осредненном течении |
вследствие |
переноса |
пульсацией |
иі |
||||||||||||
избыточного |
количества |
движения put из |
одного |
слоя потока |
||||||||||||
в другой. Материальными носителями этого количества дви жения являются уже не отдельные молекулы, как в механиз ме ламинарного (молекулярного) трения, а большие ансамб ли молекул, перемещающиеся как единые «комки» сплошной текучей среды, часто именуемые «молями». Вследствие этого турбулентное трение оказывается обычно во много раз боль ше молекулярного.
26
2.2. Уравнение осредненного |
движения сжимаемой жидкости |
||||||||
В потоке сжимаемой жидкости плотность |
меняется |
вместе |
|||||||
с изменением термодинамических параметров состояния: |
|||||||||
р{Т,р)=р(х;у; |
|
г; t); |
p = p-fp'. |
|
(2.2.1) |
||||
Осредняя уравнение |
|
неразрывности, |
имеем |
|
|
||||
|
|
2 ^ Г р " ' " = 0 |
|
( 2 - 2 - 2 ) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ер |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, исходя из уравнения неразрывности |
актуального те |
||||||||
чения, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Du, |
|
дри, |
|
^ |
|
я |
|
|
|
pujtii |
= рщ щ + (pUjYui, |
|
(2.2.5) |
||||||
Осреднение конвективной |
производной дает |
|
|
||||||
т. е. компоненты рейнольдсовых напряжений имеют вид |
|||||||||
|
а,с = |
- |
(puiYui. |
|
|
(2.2.6) |
|||
Раскрывая это выражение, |
получаем |
|
|
|
|||||
[(Р + Р') («/ + «/) — РЙ/] «î = |
Р"/"«- + "/P'"î + P'«/"î- |
(2.2.7) |
|||||||
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
и,рги', |
+ |
р'и'.и. |
|
|
||
(3=1 + |
1 |
і — . 1 f |
|
(2.2.8) |
|||||
характеризует влияние сжимаемости на осредненное движе ние по отношению к рейнольдсовым напряжениям с компо нентами вида р«і«;-. В потоках капельной жидкости и плот ного газа р'<Ср и практически
(2.2.9)
где ß —коэффициент объемного расширения по отношению к удельной энтальпии і.
27
Тогда
~ |
|
1 - ß |
и/ил' 4- |
им |
|
Л' |
• |
(2.2.10) |
||
ß = |
|
_ |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
U.U. |
|
|
|
|
|
В идеальном газе |
ß = |
«о 1 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
uni |
Л' + |
«.« |
,г |
|
|
|
ß = |
l |
|
J |
' _ . |
/ |
|
. |
|
(2.2.11) |
|
При линейном законе |
изменения |
объема |
от температуры в |
|||||||
этих формулах і заменяется на Т |
и определяется соответст |
|||||||||
вующее значение |
ß, |
1/град. |
|
|
|
|
|
|
||
2.3. Поток турбулентной энергии
Плотность кинетической энергии турбулентных пульсаций характеризуется величиной
2І = 7 2 + 7 2 + ^7 2 . (2.3.1)
Уравнение потока турбулентной энергии можно получить аналогично уравнениям Рейнольдса, предварительно умножив
каждый из компонентов уравнения Навье — Стокса |
соответ |
|||||
ственно на и', ѵ', w'. |
|
|
|
|
||
Для простоты анализа ограничимся движением несжима |
||||||
емой |
жидкости при отсутствии объемных сил |
(р = const; |
||||
(j,=const; |
F—ÇÎ). Запишем, |
например, |
уравнение |
движения |
||
для |
оси |
X и умножим на |
компонент |
пульсаодюнной |
скоро |
|
сти |
и': |
|
|
|
|
|
|
|
|
г і~ |
, |
і\ |
д(и+и') |
|
|
|
|
и' |
[и |
+ |
и') |
|
I |
/ |
(~ |
, |
i\d(u4-u') |
= |
||
+ |
u' |
[w |
+ |
w'j |
|
Jz |
|
, |
, (- |
. ,\д(и-\-и') |
. |
+ |
|
|
+ |
и' [ѵ + ѵ') |
\ J |
|
|
||
и' |
д |
gj^ |
+vu |
у [и -!- |
и'). |
|
(p4-p') |
. |
г о2 f~ , |
r\ |
|||
(2.3.2)
Произведя осреднение по правилам Рейнольдса и используя уравнение неразрывности пульсационного течения (2.1.5), получим
- д |
и'2 , - |
д |
|
и'2 |
. - |
д |
и'2 |
. |
-у—г |
дй |
. —г—, ди . |
. |
—,—г- du |
, |
д |
|
>~ * |
I |
|
|
|
|
|
|
dz |
1 |
дх |
' |
2 |
* |
ду |
2 |
' |
дг |
2 |
|
|
|
= |
~ |
T |
^ + V " W ^ |
|
(2.3.3) |
|||
28
Суммирование по этим трем координатам дает уравнение переноса турбулентной энергии
|
|
|
|
—г |
, |
ö —7— |
, " г - / du |
, —пдѵ |
|
I |
|||
ох 1 о;/ 1 |
ôz ' ох |
1 |
dy |
"' dz" |
' |
" |
1 |
" " з |
hü V -5 |
г" |
|||
, -7—т dm |
. —7—7 ( du |
, |
ôu |
и оу |
|
I — |
+ |
/ |
г I |
du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
vw |
[ |
w + |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dz |
âx |
|
|
|
|
|
|
dm |
д , fu'2 , |
|
j |
_ |
|
|
|
|
d |
|
,\w ,2 |
+ |
|
dy |
|
|
dy |
|
|
|
|
1FW |
|
( - 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.4) |
||
Рассеивание турбулентной энергии равно полному тепло выделению вследствие вязкого трения в актуальном движе
нии минус тепловыделение за счет градиента |
осредненной |
|||||||||||||
скорости течения. Полная диссипация |
механической |
энергии |
||||||||||||
в осредненном |
движении, |
отнесенная |
к |
единице |
объема, |
|||||||||
|
|
<7* = vDisS j F (2 + и ' ) . |
|
|
|
|
(2.3.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставив в (2.3.5) значение функции |
рассеивания из |
|||||||||||||
(1.1.4), произведя |
осреднение и учтя, что в потоке |
несжимае |
||||||||||||
мой жидкости divw = 0, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q* = V 2 |
du |
|
|
|
cte^2' |
|
du_ |
dv_Y |
|
|
du |
|||
ъіг |
|
|
|
|
dz |
|
|
dy |
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
âw |
|
дѵ |
|
|
du' |
2 |
|
du' Y |
/ dw'Y |
|
||
âx |
|
d y |
+ |
^ |
+ 2 |
|
~dx~ |
|
~äy~) |
+ [~дТ |
|
|||
|
(du' . |
dv'Y |
(du' |
, |
dw'Y |
!dw' , |
dv'Y\ |
|
(2.3.6) |
|||||
+ [W + |
W) + [dï |
+ |
-Ш) |
+ [W + |
Ж) |
). |
|
|||||||
Соответственно |
диссипация турбулентной энергии |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-і- 2 |
dm' Y |
du' , |
du' Y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dy^dx |
J |
+ |
||
|
|
(du' |
I |
<WY |
|
|
|
âz |
|
|
|
|
(2.3.7) |
|
|
+ |
\ dz + |
öx |
|
|
dy |
1 |
|
|
|
|
|||
В уравнении потока турбулентной энергии (2.3.4) послед ний член, очевидно, характеризует взаимодействие е и ѵ. Возможны только два механизма такого взаимодействия, а именно: диссипация qr и перенос турбулентной энергии вяз кими силами, т. е.
dive = V (u'yV' - b i / y V - 'гw'y2w') + qT, |
(2.3.8) |
29