Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл (13,34Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 129

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1. Характеристическое направление и характеристики оператора " [ /1

1 .	Рассмотрим оператор
	H [ f ] ^ A ( x ,	y)fx + B(x, y)fu,
где	f =	df	f =	df
	l x —	~dx’	ly —	' d y ’

Принимая во внимание сказанное выше, оператор Н [Ц во всякой фиксированной точке (х, у) можно рассматри вать как производную от / (х, у) по направлению вектора

l — (A/N, B/N), умноженную на N = Y A 2jr В'г, т. е.

н т - н - % -

Направление l~(A/N, BIN) называется характеристи ческим направлением оператора Н [/] в фиксированной точке (х, у).

Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет характеристическое направление оператора Н [f], назы вается характеристикой оператора Н [/J.

Согласно определению, в каждой точке характеристики выполняется соотношение

Это соотношение является дифференциальным уравнением характеристик оператора Н. Это уравнение эквивалентно

системе	дх	dydx = В{х, у).
	dx = А{х, у),	dydx = В{х, у).	(2)

2.Применим понятие характеристик к изучению урав

нений вида

H { f \ ^ A f x+ Bfy= 0.

Эти понятия изучались в курсе обыкновенных дифферен циальных уравнений. Цель нашего рассмотрения состоит в том, чтобы перенести эти понятия на системы урав нений и с их помощью изучить некоторые важные свой ства решений.

Характеристиками уравнения	Н [/] = 0 будем назы
вать характеристики оператора Н [/].
Т е о р е м а 1. Если функция	f (х, у) удовлетворяет
уравнению H[f \ = 0, т. е. # [/J =	0, то на каждой харак
теристике оператора Н / (х, у) =	const.

Действительно, вдоль каждой характеристики имеем

df — fxdx -f fydy = (/Л- J			+ f y -%)dx.		п Ршшмая				во внима
ние уравнения	характеристик			(2 ),	получим			с// =		(ДД +
			+ Bfy) dx = Я [/] dx =						0. Отсюда
			и следует, что на каждой харак
			теристике f(x,			г/) == const.
			Физическая				интерпретация
			этого	факта.		Если			у —время
			(y = t), то теорема					1	означает,
			что начальное состояние f (х, 0)
			распространяется по характери
			стикам.		Чтобы		найти f (хп, /0)
			в произвольной фиксированной
			точке (л:0, t0),			надо		через точку
(х0, /0) провести характеристику, найти						ее	точку			пересе
чения с осью / =		0. Пусть это		будет точка			(х0,		0).	Тогда
fix о, t0) = f(Xo> 0)		(рис.	6 ).
П р и м е р 1.	Рассмотрим уравнение aux -j-ut = 0-							Для оператора

Н [ и ] ~ а и х -\-и.( дифференциальное уравнение характеристик имеет

вид = а . Следовательно, характеристики суть прямые x — at = d =

= const. Эти характеристики заполняют всю плоскость (х, t). Вдоль

каждой характеристики и(х, t) = C1 — const. При						этом Сх имеет раз
ные	значения	вдоль	разных	характеристик,	т.	е.	C1 — f(d), или
и (х,	t) = f (x — at). Функция / (г) может быть произвольной дифферен
цируемой функцией.			Выбирая	функцию f (г)	надлежащим образом,
можно решить задачу Коши.				уравнения аих -\-цх =			0 с начальным
	Решение задачи		Коши для
условием и{х,		0) = ср(х) имеет вид

и {х, t) = ср (x — at).

§ 2. Характеристическая форма оператора h [ u , v\ = Н М + H 2\v\

Наша цель — ввести понятие характеристик и изучить их свойства для систем уравнений. Для простоты выкла док мы ограничимся системой двух уравнений (хотя основ ные факты, которые мы получим для систем двух уравне ний, справедливы и для систем любого числа уравнений).

Для	этого предварительно	рассмотрим оператор /г [и,	и]
над	двумя, функциями	/г [и, v] = Нх [и] + Н2[и],	где

Н1 [и] = Аих+ Виу, Нг [v] = Cvx-\-Dvy, А, В, С, D —задан ные функции от (х, у).

Операторы /Д[м] и H2[v] над функциями и, v можно рассматривать как умноженные соответственно на Nt —

= V A 2J\-B2 и N2= V С2 + D2

производные

по направле

ниям

= (Л/iVj, В/Л^)

и l2 = (C/N2, D/N2),

т.

е.

Я! [и] =

Направления

дифференцирования

совпадают

только

или

ВС —ЛВ = 0,

т.

е.

случае, если-д=-^-,

1Х и 12 совпадают только

в том случае,

когда

А С

В D

В этом случае из

-q

следует, что -j- = - g=k, откуда

С = k ■A,

D = k

B, k = k(x,

у). Следовательно,

/ г

1 dv

(3 )

h\u,

i>] =

d i + k w

Здесь

■дифференцирование

вдоль

кривой

■А,

- ? = В , т. е. ± = А А

■В

ду ■

дх

характе

Правую часть формулы (3) будем называть

ристической формой оператора h[u,

v}.

§ 3.

Характеристическая форма пары операторов

h x [и, v ]

и h 2\u, v]

1 .

Рассмотрим два

оператора

hx [и,

v] — Ахих -f- Вхиу-|- Cxvx-j-DxVy

h2[u, v] = A2ux -f- B2uy-f-C2vx -\-D2vu.

В каждом из этих операторов, согласно предыдущему, дифференцирование производится по двум направлениям. Из операторов hx и h2 можно составить еще один опера тор h•

/г [и, v] = /г1 + Я/г3 =

~(АХ+ ЯЛг) ux-j-(Bx-)- ЯВ3)иу-f- (Сх-f- ЯСо) vx -)- (Dx-р KD2) vy,

где Я = Я(лг, у) —некоторая функция. Поставим задачу:

Найти такие значения Я, чтобы в операторе h дифферен цирование каждой из функций и и v производилось только в одном направлении.

В операторе h [u,v] дифференцирование функции и произ водится в направлении l1 = {(A1+ ’kA2)lN1, [Вх + ЯВ2)/АД, а дифференцирование функции п - в направлении

	к =	{(C l + XC2)/N 2, (D , +			W 2)/N 2},
	N, = 1/ ( Л + М а)а + (51 + Я,ба)а,
	iVa =	V/'(C1 +	AC2)2 + (Z>1 +		^ D 2)2.
Чтобы	эти направления		совпадали, необходимо и доста
точно,	согласно	предыдущему (§		2 ),	чтобы выполнялось
условие			Z?^ —\|— Я./?^	= 0 .		(4)
		............................
		С ! + Я С 2	D1-\-XD2
Из этого условия находим X.						уравн
2.	Для определения X мы имеем квадратное

ние. Из него находим два значения: Я1( Х2. Эти значения называют характеристическими значениями пары опера-

торов {hi, h2). Каждое из этих значений определяет направление, к дифференцированию вдоль которого сво

дится оператор h. Для каждого				из	полученных значе
ний X получим свой оператор hx
k l u ,	V	i ^ ^	+ kAx,	у ) ^ - ,
h2 [и,	v]	du	■k2{x,	у)	du
		dx.			dxо

где

ki(x, у)

dxx

C\-f-XjC2 __ D\ Xj P2		(t=	1 , 2 ),
Ф + М 2	4“XiB2

■Mi + ^M 2) ay + (&i + KBz)
dx
— (i4i + X24 2) dxd	(Bi + Я2В2) dy

Таким образом, из двух исходных операторов hx и h,

можно получить два других оператора hx и h2, в каждом из которых дифференцирование функций и и у произво дится лишь в одном направлении. Эти направления назы ваются характеристическими направлениями пары опера

торов hi	и h2. Мы	будем называть их первым (для А,) и
вторым	(для Я2)	характеристическими направлениями.
1.	Если Яг и Х2 вещественны и различны, пара опер

торов hx и /г2 называется гиперболической.

2.Если Кх и %2 комплексны, пара операторов hx и h2

называется эллиптической.

3.Если ?ч = А,2) пара операторов hL и /г2 называется

параболической.

Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет первое характеристическое направление пары опе раторов (hx, h2), называется характеристикой первого семейства пары операторов (hlt h2). Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет второе характеристи ческое направление пары операторов (hx, /г2), называется

характеристикой	второго	семейства пары	операторов
(hx, h.2). Таким	образом,	в гиперболическом	случае мы

имеем два семейства характеристик, дифференциальные уравнения которых имеют вид

Ах ~f- Я 2 Л 2

В параболическом случае имеется одно семейство характеристик, в эллиптическом —два мнимых семейства.

З а м е ч а н и е .		В рассмотренном нами				случае			опера
торы hx и /г2 —линейные			и их характеристики					не зави
сят	от функций и И V.
3. Рассмотрим систему линейных уравнений
	М«> v]=&1(x, у),			h2[u,	и ] = ё 2(х,		у).		(6 )
Она	называется	гиперболической,			если пара		операторов
(hx,	h2) гиперболична, т.		е. если		и Х2 вещественны и
различны.			эллиптической, если
Система (6) называется								пара опе
раторов (hx, h2)		эллиптична.		Аналогично		определяется

параболическая система. М ыв дальнейшем будем рассмат-- ривать только гиперболические системы.

Характеристиками системы (6) будем называть харак

теристики пары операторов	hx[u, v], h2 [и,	у].
З а м е ч а н и е . Понятие	характеристик	системы (6 )