Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Найти функцию и(М, t), удовлетворяющую в В урав­

ках М, настолько удаленных от границы области S, что влиянием граничного режима на эти точки можно пре­

в любой точке М пространства, а также начальным усло-

функции. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (38)

ди

Здесь ~ —производная по нормали к кривой С в точках этой кривой.

Аналогичную постановку можно указать и для многомерного случая, когда функция и зависит более чем от двух переменных.

Для уравнения эллиптического типа краевые задачи ставятся следующим образом: найти функцию и (М ), удов­ летворяющую в области D уравнению

divl k( M) Vu ] - q (M )u = — f(M),

а на границе 5 краевому условию

{?i (M )^ + Y*(M)m}s = P(M).

40

две области: внутреннюю D и внешнюю Dv При по­

Всоответствии с этим различают внутренние и внешние краевые задачи. Это существенно прежде всего для урав­ нений эллиптического типа.

Впоследующих главах мы будем рассматривать глав­ ным образбм методы решения указанных классов задач. Вопросы единственности решения этих задач рассматри­ ваются в гл. VIII.

2.В задачах, описывающих реальные физические про­ цессы, явления, связи, величины, образующие «исходные

данные» («исходную информацию») — например, начальные и граничные значения искомого решения (или результатов заданных операций над ним) и другие — обычно полу­ чаются путем измерений и потому являются приближен­ ными.

Обычно эти приближенные значения мало отличаются от точных значений соответствующих величин и погреш­ ность имеет случайный характер. Возникает вопрос: как эти «малые» изменения исходных данных (например, на­ чальных значений) будут сказываться на решении? Если «малые» изменения исходных данных могут привЪдить к «большим» изменениям решения, то часто становится затруднительным (или даже невозможным) дать физиче­ скую интерпретацию такого решения. Для однозначной физической интерпретации решения задачи необходимо, очевидно, чтобы' малым изменениям «исходных данных» задачи отвечали малые изменения решения. Точнее, реше­ ние должно непрерывно зависеть (в заранее определенном смысле) от «исходных данных». Это свойство решения часто называют у с т о й ч и в о с т ь ю р е ш е н и я к малым изме­ нениям «исходных данных». Для каждой задачи математи­ ческой физики, кроме существования и единственности ее

решения, надо выяснить, обладает ли свойством устойчи­ вости к «исходным данным» предлагаемый способ построе­ ния решения (точного или приближенного). Вопросы устой­ чивости рассматриваются при изложении методов решения соответствующих задач. Этим .вопросам посвящена также глава XII.

41

ЗА Д А Ч И

1.Верхний конец упругого, однородного, вертикально подвешен­ ного тяжелого стержня длины I жестко прикреплен к потолку сво­ бодно падающего лифта, который, достигнув скорости v0, мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях

этого стержня.

2. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, пред­ полагая, что концы струны закреплены жестко.

3. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях, вызван­ ных начальным возмущением, для упругого стержня (0 пере­ менного сечения S (х), концы которого упруго закреплены (с помощью пружины). Плотность массы равна р (х), модуль упругости равен Е (х). Деформациями поперечных сечений пренебречь.

4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой

с постоянной угловой скоростью м находится в горизонтальной пло­ скости, причем один конец струны (х = 0) прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени t = 0 точкам струны сообщают малые отклонения и скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения откло­ нений точек струны от плоскости равновесного движения.

7. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что в момент времени t = 0 его поперечные сечения получают малые повороты 8 в своих плоскостях относительно оси цилиндра. Поставить краевую задачу о малых крутильных колебаниях этого цилиндра, если концы его жестко закреплены (или свободны).

Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях этой струны под действием пондеромоторных сил.

9. Два полубесконечных однородных упругих стержня с одина­ ковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют один бесконечный стержень. Пусть рь Ех—плотность массы и модуль упругости одного из них, а р2, Ег— другого. Поставить задачу о малых продольных колебаниях этого стержня под действием началь­ ного возмущения.

10.Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны с за­ крепленными концами, нагруженной в точке х0сосредоточенной массой т.

11.Поставить задачу о поперечных колебаниях бесконечной

струны под действием силы F (t), приложенной, начиная с момента t = 0, в точке х — х0, перемещающейся вдоль струны со скоростью v0.

12. Вывести уравнения для определения силы и напряжения переменного тока (систему телеграфных уравнений), идущего вдоль тонкого провода с непрерывно распределенными по длине: омическим сопротивлением R, емкостью С, самоиндукцией L и утечкой G, рас­ считанными на единицу длины. У к а з а н и е : воспользоваться зако­ ном Ома и законом сохранения количества электричества.

42

Г л а в а III

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

Одним из эффективных методов построения решений и исследования свойств решений уравнений в частных производных и систем таких уравнений является метод характеристик. На его основе строятся также приближен­ ные методы получения численного решения систем урав­ нений.

Для простоты -изложения мы ограничимся рассмотре­ нием задач, в которых искомые решения являются функ­ циями от двух переменных *).

Как известно, производная функций f(x, у) в фикси­ рованной точке (х, у) по направлению единичного век­

в точке (х, у) по направлению единичного вектора с ком­

44