Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
4. Если в уравнении второго порядка |
|
|
||||
Оц (■*■> у) ихх |
2 й12 (М У) Мху~Т ^22 (•*”> У) ^УУ |
|
|
|||
|
|
|
|
= f{x, у, |
их, иу) |
(8) |
положить их = w, Uy= v, |
то оно |
сведется |
к эквивалент |
|||
ной системе |
|
|
|
|
|
|
an wx+ a12wy+ a12vx+ a22vy = f (х, |
у, w, v), |
|
|
|||
|
|
|
|
W y - vx = 0. |
(9) |
|
Возникают |
вопросы: |
1) Если |
уравнение (8) гипербо |
|||
лично (эллиптично, параболично) в некоторой области D, то |
||||||
будет ли гиперболичной (эллиптичной, параболичной) |
в D |
|||||
система (9)? |
2) |
Будут ли характеристики |
уравнения |
(8), |
||
определенные в гл. I, совпадать |
с характеристиками сис |
|||||
темы (9)? |
|
|
|
|
|
|
Нетрудно дать утвердительные ответы на эти вопросы и доказать, таким образом, эквивалентность понятий характеристик уравнения (8 ) и эквивалентной ему сис темы (9). В самом деле, уравнение для нахождения характеристических значений системы (9) имеет вид
Й11 |
^ |
Д12 + ^ = 0 |
или |
К2= а212 — ап а22 —А. |
||
й 12 |
й 22 |
|
|
|
||
Следовательно, |
^ 1i2 = ±~|/A . Отсюда следует утвердитель |
|||||
ный ответ на первый вопрос. |
|
|
||||
Дифференциальные уравнения |
характеристик системы |
|||||
(9) согласно |
(5) |
имеют вид |
|
|
||
|
|
йф = aj2±Vj±_ |
и |
dy |
gi2—Б а |
|
|
|
dx |
au |
|
dx |
au |
и совпадают с уравнениями характеристик (1 1) гл. I уравнения (8). Мы получили утвердительный ответ и на второй вопрос.
§ 4. Гиперболические системы с постоянными коэффициентами
1. Пусть ^ = ^ 2= 0, а Аи Л2; Blt В2\ Clt С2; Оъ D2
постоянные. Тогда, очевидно, и Яа, Я2 — постоянные. Диф ференциальные уравнения характеристик в этом случае имеют вид
dy_ = |
Дх + М а |
= J _ |
|
dll _ |
Дх + М а |
J_ |
dx |
Tx-j-MTj |
ax |
’ |
dx |
Лх+ М^г |
’ |
50
где ах и а2— постоянные. Следовательно, характеристики суть прямые x — a1y = dl, x — a.2y = d2.
Характеристическая форма системы имеет вид
-£ г+ * х |
dv |
-Д -(И+ М = о, |
|
|
dxt |
( 10) |
|||
|
||||
du |
dv |
- ^ ( u + k2v) = 0, |
||
с/т. + k'l |
с/т2 |
|
||
где |
|
и _ |
|
|
Сх XjC., |
|
|
||
К = ^1 + ^1A‘i = const, |
2 “ At. + |
const. |
||
Полагая r = u-\-k1v, |
s — u-\-k2v, систему (10) |
можно запи |
||
сать в виде |
|
|
|
|
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го семей ства (т. е. вдоль линии х — аху — dх) r = u-\-k1v = b1 —const.
Таким образом, г —инвариант на характеристиках 1-го семейства. Вдоль каждой характеристики 2-го семейства
(т. е. вдоль линии x — a2y = d2) s = u Jr k2v = b2 = cox\si.
Таким образом, s —инвариант на характеристиках 2-го семейства. При этом для каждого значения константы d1 будет свое значение инварианта г, т. е. константы Ьг:
г — и -\-kxV = F (di).
Аналогично s = u-\-k2v —Ф (d2), или
|
u + kiV = F(x — axy), |
u-\-k2v = 0{x — a2y). |
||||
А и Ф |
могут быть |
произвольными |
дифференцируемыми |
|||
функциями. |
Так как |
kx^ k 2, то |
|
|||
_ |
h F (х — |
ахУ) — h® ( * — а2у) |
F {х—.д1у ) - Ф { х — а2у) |
|||
U~ |
|
|
|
’ |
|
*1 -*» |
П р и м е р |
2. Рассмотрим уравнение |
|
||||
|
|
|
. |
a*uxx = Utt‘ |
(П) |
|
Это уравнение эквивалентно |
системе |
|
|
|||
|
|
aux = vt, |
avx = щ. |
|
||
Таким образом, в этом случае |
|
|
||||
h1 [и, v] = |
аих —V( |
(Ai = a, |
В1 = 0, |
C1 = Q,-D1 = — 1), |
||
h2 [и, v] = |
avx — lit |
(Л2 = 0, |
F2 = — 1, C2 —a, D2 = 0). |
|||
Уравнение для |
h: |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ah |
|
|
51
Следовательно, Я3= 1 , т. е. Я1==1, Я2 = — 1. Эта система гиперболи ческая
ь |
+ |
1 |
и |
_Сх-\-%гСг __ , |
1 |
х—1~A-i/lo |
’ |
' |
Я2Л2. |
Дифференциальные уравнения характеристик:
|
|
|
с/х |
|
с/х |
|
|
|
|
|
|
|
d t ~ ~ ~ a' |
dt ~~а’ |
|
|
|
||
Таким образом, |
имеем два семейства характеристик: |
|
|
|
|||||
|
|
х -j-at = dx = const и х —at — d%— const. |
|
|
|
||||
Вдоль |
прямых |
х + а ^ с ? ! |
имеем |
и + *1у = и + о= 2Т '(х+я/). |
Вдоль |
||||
прямых x — at = d.i имеем |
u-\-k2v — u — а=2 Ф (х —at), |
где |
/'(г ) |
и |
|||||
Ф (г) —произвольные дважды дифференцируемые функции. Отсюда |
|||||||||
|
|
и (х, |
t) —F /x-l-аЛ + Ф (х —at). |
|
(12) |
||||
2. |
Обратимся |
к |
физической |
интерпретации |
решен |
||||
и = Ф(х — а1). Функцию и (х, |
t) будем называть |
отклоне |
|||||||
нием, |
в точке л: в момент времени t. |
Рассмотрим |
точку |
х0. |
|||||
Вообразим, далее, что из этой точки в положительном направлении оси х в момент времени / = 0 начинает дви гаться наблюдатель со скоростью а. В момент времени tr
он окажется |
в точке |
xY= |
atv |
Величина отклонения, |
||||
которую |
наблюдатель |
будет видеть в |
точке х1 в момент |
|||||
времени |
tlt |
будет |
равна |
и -= Ф (хг — aty) ~ Ф (х0). Таким |
||||
образом, |
наблюдатель в любой момент |
времени |
будет ви |
|||||
деть в точке, |
где |
он находится, |
одну |
и ту же |
величину |
|||
отклонения, равную Ф(х0). Следовательно, начальный профиль и (х, 0) = Ф (х) будет двигаться со скоростью а в положительном направлении оси х, как жесткая система, не изменяя формы (рис. 7 ).
52
Ввиду этого |
решение м = Ф(х — at) называют прямой |
||
бегущей волной. |
Аналогичное |
истолкование можно |
дать |
и решению u= F (x + at): Оно |
называется обратной |
бегу |
|
щей волной. При этом профиль движется, как жесткая система, в отрицательном направлении оси х со ско ростью а.
Таким образом, любое решение уравнения (11) пред ставляется в виде с у п е р п о з и ц и и (наложения) прямой
иобратной бегущих волн.
§5. Решение задачи Коши для одномерного волнового
уравнения. Формула Даламбера.
1. Пусть требуется найти решение задачи Коши
|
~ Hft, |
|
(13) |
и(х, 0) = ф(л-), |
и,(X, |
0) = ф(х), |
(14) |
непрерывное в замкнутой области |
|
|
|
B1s={ — со< х< .оо; |
0}. |
|
|
Решение будем искать в виде суперпозиции прямой и
обратной бегущих |
волн (см. пример 2 в § 4) |
|
и(х, |
t) = F(x-sr at)Jr (\)(x — at)*). |
■ (15) |
Среди решений вида (15) найдем такое, которое удов летворяет заданным начальным условиям (14):
и (х, 0) = ср (х) = а» (х) + F (х),
щ (х, 0) = ф (х) = — аФ' (х) + aF’ (х).
Интегрируя последнее тождество, получим два урав
нения для определения функций Ф(г) |
и F (г): |
|
|||
|
|
|
|
у |
|
Ф (У) + В{У) = Ф (У), |
- Ф (У)+Р{У) = |
-д- ^ Ф(г) dz + C, (16) |
|||
|
|
|
|
Ха |
|
*) |
К представлению решения в форме (15) можно прийти и иначе. |
||||
Предположим, что и(х, |
\) — решение уравнения (13). Для него |
вы |
|||
полняется тождество а2ихх = и,ц. Производя |
в нем замену независи |
||||
мых переменных по формулам %=х — at, ц = х-{-at, получим |
тож |
||||
дество |
= 0. Интегрируя его последовательно |
по переменным |
т) и |
||
получим формулу (15), в которой F (г) |
и |
Ф (г) — произвольные |
|||
функции (их можно предполагать дважды дифференцируемыми). |
|
||||
53