Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Будем считать, что распределение нейтронов по пространству имеет вид (близко к равновесному) ¥ (х, р) = а (х) -|- b (х) р. Здесь второе слагаемое носит характер поправки к первому (Ь<^.а). В этом приближении

1

Мы получили систему двух уравнений для двух функций ¥ 0 и ¥ х. Удобно перейти от функций ¥„ и ¥ х к концентрации нейтронов п и плотности потока нейтронов j в направлении х. Имеем

1 1

п = ( ¥ (х, р) dp — ¥ 0, / = Г ор¥ (х, р) dp = о¥х.

- 1 - 1

Перепишем систему (30), вводя функции п и / вместо ¥ 0 и ¥ х:

Положим v/(3a) = D. Тогда первое из уравнений дает закон Нернста, где D — коэффициент диффузии, а второе —уравнение диф­ фузии в одномерном стационарном случае:

Член v (Р — а) п представляет источники.

Заметим, что полученные уравнения справедливы и в анизотроп­

36

§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач

1 . При решении задач физики или других областей науки математическими методами необходимо прежде всего дать математическую постановку задачи, а именно:

а) написать уравнение (или систему уравнений), кото­ рому удовлетворяет искомая функция (или система функ­ ций), описывающая исследуемое явление;

б) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области ее определения.

При решении каждой конкретной физической задачи математическими методами надо ставить вопрос не о реше­ нии соответствующего уравнения, а о решении математи­ ческой задачи в ее полной постановке, вместе с соответ­ ствующими дополнительными условиями. Обычно интере­ сующие нас явления имеют однозначный характер, в то время как описывающие их уравнения имеют множество решений. Поэтому при математической постановке задачи недостаточно написать уравнение (или систему), которому удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо также указать дополнительные условия, позволяющие выделить лишь одно интересующее нас решение, описы­ вающее конкретное явление, процесс. Дополнительных условий должно быть «не слишком много», чтобы суще­ ствовало решение, удовлетворяющее им. Таким образом, дополнительные условия должны обеспечить существование и единственность решения.

Характер дополнительных условий мы покажем на примерах задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.

точек струны (стержня).

Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют

37

то мы будем называть такие дополнительные условия

краевыми (граничными) условиями первого типа.

Если задан закон изменения силы, приложенной к концу струны (стержня) и действующей в направлении колеба­ ний, то режим на концах можно записать следующим образом:

действующая вдоль оси х. Тогда сила натяжения Еих на конце будет уравновешиваться силой действия пружины, равной сш. Краевой режим на этом конце можно записать следующим образом:

Eux (l, t) = — сш(/, t),

где. а — коэффициент жесткости пружины, или

Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы краевых условий имеют следующий вид:

приводящих к уравнениям параболического типа. Так, если задается температура на поверхности тела, то имеем краевое условие первого типа. Если задается плотность

38

*

потока тепла — , ди через поверхность тела S, то имеем

краевое условие второго типа. Если же на поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей темпера­

торые из них мы рассмотрим позднее. Рассмотренные типы краевых условий являются линейными, поскольку искомая функция или ее производные входят линейно. Они назы­

в задачах, приводящих к уравнению эллиптического типа. Физическое истолкование каждого из них не представляет никаких трудностей.

Краевые условия определяются физической постановкой

нию (36) (соответственно (37)) и дополнительным условиям:

вий можно записать одним соотношением

{T i(M )^ + y2 ( M) n } 5 = P(M, t).

39