Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл (13,34Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

из которых находим

F { y ) - ^ + la \^ {z ) d z + C2 ,

Л'о

*о

Подставляя эти функции в формулу (15), получим фор
мулу Даламбера		x+at
и ^	() = ф ( , - о 0+		(17)
		ф (, + в/) + .1. ^ (г )Л .
		х — at
2.	Таким образом,	предположив существование реше

ния задачи Коши, мы пришли к заключению, что оно должно представляться формулой (17). Следовательно, оно единственно. Если функция ф (х) обладает производ ными первого и второго порядков, а функция ф (х) — про изводной первого порядка, то формула (17) дает искомое решение задачи Коши (13) —(14). В этом можно убедиться непосредственной подстановкой правой части формулы (17)

в уравнение (13)	и в соотношения (14). Построив реше
ние задачи Коши,	мы тем самым доказали его существование.

Описанный выше метод построения решения задачи Коши называется методом характеристик или методом бегущих волн.

§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения

1. Научившись строить решение задачи Коши дл однородного волнового уравнения (13), легко построить решение этой задачи для неоднородного волнового урав нения.

Метод построения одинаков для всех линейных урав

нений	гиперболического типа,	поэтому мы будем рассмат
ривать	более общее уравнение
	div {k Xu) — qu-\-f{M,		t) = putt,	(18)
где k,	q и p —известные функции		точки M.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши для урав
нения (18) с начальными условиями
	и(М, 0) = ф(М),	щ{М, 0) = ф(Л1).		(19)

Эту задачу разбиваем на две задачи:

1) задача

Коши для

однородного уравнения

d\M{k^v)-qv = pvtt

(2 0)

с заданными

начальными

условиями

v{M,

0) =

ф(М),

vt (M,

0) = тр (Л1);

(21)

2) задача

Коши для исходного уравнения

div (k Vtci) — qwJ\-f{M,

t) = pwu

(18х)

с нулевыми начальными условиями

w{M,

0) — 0,

wt (M,

0) = 0.

(22)

Очевидно, u = v + w.

Предположим,

что мы

умеем

решать

задачу

Коши

(20) —(21). Тогда

решение

задачи

Коши (18Л), (22)

стро

ится следующим образом.

Построим такую функцию 1Ц{М, t, т), которая удов

летворяет однородному уравнению (2 0) для 1 > т и началь

ным условиям

Щ\их = 0,

(23)

По

предположению

мы

умеем решать эту задачу.

Тогда

искомое решение задачи

Коши 2)

будет иметь вид

w(M,

t) = \m{M,

x)dx.

(24)

Действительно,

по правилу дифференцирования интеграла

с переменным

верхним пределом

по параметру находим

Щ (М,

()=Щ\Х_Г\-\Щ1{М,

t, x)dx.

Воспользовавшись

первым из условий

(23),

получим

wt (М,

x)dx.

(25)

Из

формул

(24)

(25)

непосредственно

следует, что

w(M, t) удовлетворяет начальным условиям (22). Диф-.

ференцируя соотношение (25) по t			еще раз и используя
второе из условий (23),	получаем
t			t
wtt=-.LUt \x_t+ J Щи (М,	t,	=	jj Щи (М, t,x)dx.
О			о

Следовательно,	t
9wtt	1)^\г \рЩн йх.	(26)
	о

Вычислим d\v{k^w)~ qw. При этом, очевидно, опера цию div (k V) можно выполнить под знаком интеграла. Получим

div (k Тда) — qw = \i {div (k VЩ) — qUJ,} dx.	(27)
о

Поскольку функция Щ(М, t, x) является решением уравнения (20), то из формул (26) и (27) следует, что функция w(M, t), определяемая формулой (24), является решением уравнения (18), а следовательно, и решением задачи Коши 2).

З а м е ч а н и е . Такой способ нахождения решения неоднородной задачи по решению соответствующей одно родной задачи применим и для нахождения решения краевой задачи для неоднородного уравнения с однород ными краевыми условиями. В этом случае вспомогатель ная функция Щ(М, /, т) должна быть решением соот ветствующей однородной краевой задачи.

2 .	Применим описанный метод к одномерному ура
нению; требуется решить задачу Коши
	a2uxx+ f(x, t) — Uft,
	и(х, 0) = cp(x),	ut (x,	0)=ф( х) .	'
Разбиваем ее на две задачи:
1)	задача Коши для однородного уравнения с з а д а н
ными	начальными условиями
	аЧхх = vth
	v(x, 0) = ф (х),	vt (x,	0) = (л:);
2)	задача Коши для з а д а н н о г о уравнения с			нуле
выми начальными условиями
	a2wxx-\-f(x, t) = Wflt
	w(x, 0) —0 ,	wt (x,	0) = 0.
Тогда	и —o + ®.

Функцию v (x, t) можно записать по формуле Даламбера

х— at

Согласно предыдущему

w(x, Г) = \Щ(х, t, т) dx,

где функция 1Ц (х, t, т) является решением задачи Коши

		а2Щхх =-
Щ \|/_т = 0 ,			UU\t-t = f{x,		т)
и, следовательно,	может быть записана				по формуле Да-
ламбера				т)
Щ(х,	t,	т ) = ~	J	f{z,	т) dz.
			x — a (t —z)
ПоЭТОМУ		<*+ a ( t - X)
W’ I 0 =		^ 5	^	f (2. Т) t/г dx.		(29)

0х—а((—т)

§7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного волнового уравнения

квходным данным. Обобщенное решение

1 . Как указывалось в гл. II, § 8 , одним из важней ших требований к методам нахождения решений задач математической физики является требование устойчивости решения к малым изменениям входных данных. Покажем, что как решение задачи Коши для однородного волнового уравнения, представляемое формулой Даламбера, так и

Рис. 8.

решение задачи Коши для неоднородного уравнения, представляемое формулой (29), удовлетворяют этому требованию.

2.Формула Даламбера (17) дает решение задачи Коши

(13)—(14) в предположении, что начальные функции ф(х)

иф(х) имеют производные ср' (х), <р" (х), ф' (х). Однако

нетрудно указать задачи, в которых начальные функ ции ср (х) и ф (х) этими свойствами не обладают; доста точно, например, задать начальное отклонение струны в виде доманой, изображенной на рис. 8 .

Для того чтобы понять, как строить решение задачи Коши в этих случаях, докажем следующую теорему:

Т е о р е м а о н е п р е р ы в н о й з а в и с и м о с т и р е ш е н и я з а д а ч и К о ши от н а ч а л ь н ы х з н а ч е

ний. Пусть щ (х, t)

и и2 (х,

t) суть решения задачи Коши

(13) —(14) с начальными условиями

щ(х, 0) = ф!(*),

ult{x,

0)= iM * )

и2(х, 0) = фДх),

и2( {х,

0) = ф2 (х).

Тогда, каковы бы ни были

е > 0

t1> 0,

существует

такое

б > 0 , зависящее от

tlt

б = б (е,

0 )>

что из

неравенств *)

I Ti (х) — ф2 (х) | < б, ! Д?! (х) —

(*) I <

для — со ■< х <; оо

следует неравенство

\и1(х,

t) — u2(x,

01 < е

для

— co<ix<ioo,

t ^ t x.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя

формулу Даламбера

для щ (х, I) и и2(х, t), получим

ul (x,

и2(х,

t) = у

[фх (х -

at) —ф2 (х — at)] +

х -j-at

[Ti (* +

at) - ф3 (х -f at)] +

(г) - ф2 (г)] dz.

Следовательно,

х — at

(•*•> 0

■“ ^2 (*^>

~2 I

я/) — Фз

I *4“

x-\-at

2 |ф1 (* + а/) - ф

2 (* + й 0 1 + 2~

I "Фх (г) —

“Фа (г) |rfz <

x —at

x-\-at

< 2 ^

2 ^ 2а ^ б dz = б Ы б (1 -J- 0 )•

x —at

Если

взять б = е/(1+0)>

то

неравенство

\щ(х, t)

— u2(x,

I <

будет .выполнено для

всех — о о < х < о о ,

Ч. т. д.

*) Во избежание недоразумений в этом и следующем пункте мы будем считать, что х, / — безразмерные переменные.

Смотрите также файлы

Практическая работа 22. Создание компьютерной презентации.docx

Система это полный, целостный набор элементов (компонентов), взаимосвязанных и взаимодействующих между собой так, чтобы могла реализоваться функция системы. Элемент.docx

Российский государственный социальный университет Факультет Информационных технологий.doc

Александр Смирнов Тактическая медицина.pdf

Карта оценки эффективности педагогических воздействий.docx

Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно