Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

З а м е ч а н и е . Если начальные значения фх (л:), ср2 (д-), фх(х), Ф2 0 0 удовлетворяют неравенствам

Фг (х) — ф2 (х) | < 6 для — о о < х < о о ,

СО

$ i Ф1 (*) — ф2 (*) I d x < б,

—СО

то, очевидно, для соответствующих решений задачи Коши аДх, t) и и2 (х, t) будет выполняться неравенство

ростей (в указанном смысле оценки уклонения начальных данных).

Содержание этой теоремы можно кратко выразить словами: малым изменениям начальных значений соответ­ ствуют малые изменения решения задачи Коши.

Таким образом, устойчивость решения задачи Коши

кмалым изменениям начальных данных показана.

Впрактических задачах начальные значения полу­ чаются в результате измерений и, следовательно, не являются точными. Доказанная теорема создает уверен­ ность, что небольшие погрешности, допущенные в опре­ делении начальных значений, приводят к небольшим изменениям в решении задачи Коши. Эта теорема указы­ вает также на один из возможных путей построения решения задачи Коши в случаях, когда начальные функ­ ции ф (х) и ф (х) не обладают соответствующими произ­ водными (см. рис. 8 ).

3.Обратимся снова к задаче Коши (13) —(14). Мы будем полагать, что начальные функции ф (х) и ф (х) не равны нулю лишь на конечных отрезках, непрерывны всюду, а функция ф(х) имеет производную первого по­ рядка. Эти функции можно равномерно аппроксимировать дифференцируемыми функциями ф„ (х) и ф„(х) так, что

59

Если в качестве начальных функций в задаче Коши взять функции <р„ (я) и фл (х), то они определят единст­

венное решение задачи ип(х, t).

Оценим разность решений ип4гц(х, t) — un(x, t). В силу

равномерно сходится в указанной области изменения пере­ менных л:, t к некоторой функции и (х, t). Эта функция называется обобщенным решением задачи Коши (13) —(14). При этом

Эта функция и (х, t) и ее производная ut (х, t) принимают заданные значения ф(л:) и ф(лг). Таким образом, в рас­ смотренном случае формула Даламбера также дает реше­ ние (обобщенное!) задачи Коши. Рассмотренную задачу можно решить и иначе, если воспользоваться обобщенными функциями и их свертками (см. Дополнение, п. 1 ).

4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Ко

кмалым изменениям неоднородности в уравнении. Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми

начальными данными. Такое решение представляется фор­ мулой (29).

60

Тогда, каковы бы ни были положительные числа г и Т, существует такое 6 > 0 , зависящее от е и Т, 8 — 8(е, Т), что из неравенства

§8 . Решение краевых задач на полупрямой

1.Обратимся к рассмотрению краевых задач на полу­ прямой. Предварительно докажем две леммы.

61

Д о к а з а т е л ь с т в о . Полагая в формуле Даламбера, дающей решение задачи Коши (13) —(14), х = 0, получаем

„(О, 0 = Ф ( - ')+ Ф М + ^ f

—at

Поскольку ф (х) — нечетная функция, то ф (— at) = — ф (at).

Полагаем ф (0) = ф (0) = 0.

Для ее решения нельзя непосредственно воспользо­ ваться формулой Даламбера, так как входящая в эту формулу разность x — at может быть и отрицательной, а для отрицательных значений аргумента начальные функ­ ции ф(х) и ф(х), согласно (33), не определены.

Мы будем действовать следующим образом. Продолжим функции ф (х) и ф (х) нечетным образом на отрицательную часть оси х и обозначим через фх (х) и фх (х) продолжен­

*) Использовать нечетность производной ф' (х).

62