Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Интегрирование по координатам точки

Р производится

по всему пространству. Таким образом,

решение краевых

задач и задачи Коши для

уравнения L[u]-\-f{M, t) = put

сводится к нахождению соответствующих функций Грина.

6 .

Функция

Грина

краевой задачи может быть най­

дена методом разделения переменных. В самом деле, фор­

мальное применение метода разделения переменных к на­

хождению решения

задачи

(4) — (6) дает нам ряд

 

G(M,

Р\ 0 =

I ] сяФя( М)е-Ч,

 

 

 

п = \

где %п— собственные значения, а Ф„ (М) —- отвечающие им собственные функции оператора L. Коэффициенты ряда сп находим, пользуясь начальным условием для G и орто­ гональностью собственных функций:

Cn==W J ? \ G<'M ’ р ’ °)р (M)On(M)drM=

= ^ $

6 (М, Р) Р (М) Фп (М) Итм=

•

П

D

П

Таким образом, для краевых задач функция Грина пред­ ставляется рядом Фурье по собственным функциям задачи

 

G (М, Р;

Фд (М) Ф„ (Р)

, р

x t

 

I!

Ф « !ia

P l п

 

 

п —1

 

 

 

 

 

 

Легко убедиться в том,

что

решение

краевой задачи

(1) —(3),

полученное с помощью этой функции Грина по

формуле

(7), имеет такой

же

вид,

как

и решение этой

задачи,

полученное в § 2

гл. IV методом Фурье *).

Для некоторых уравнений параболического типа

удается

найти и функцию Грина задачи Коши. Это можно

сделать, например, для простейшего уравнения теплопро­ водности a2 Au = ut в пространстве любого конечного числа измерений. Построению функции Грина для такого урав­ нения и решению задачи Коши посвящены последующие параграфы этой главы.

) Читателю рекомендуется доказать это.

135

§ 2. Построение функции Грина задачи Коши на прямой

1.

О п р е д е л е н и е . Функцией Грина G {х —

t) задач

Коши

для простейшего уравнения

теплопроводности на

бесконечной прямой

называется решение задачи Коши

 

 

 

о^ихх ==и^у

 

 

(24)

 

 

 

и(х, 0) = ср (х) —6 (х — I),

(25)

непрерывное всюду

в области

 

 

 

Вх = {— о о < л :< о о ; /З г 0 }, кроме точки (£,

0).

Построим эту

функцию G(x — l,

t). Для этого решим

сначала следующую специальную задачу Коши:

 

 

 

 

а2ихх = щ,

 

 

(26)

 

“ (*.

0) = <р(*) = т)(х) = ( 5*’

Х < °'

(27)

 

 

 

I

1 ,

хЗгО.

'

Будем искать автомодельное решение этой задачи *), т. е. решение в классе функций вида f(x/ta), где число а назы­ вается показателем автомодельности.

Подставив функцию u = f(x/ta) в уравнение (26), по­

лучим

а2

х

 

у2а / (*) = —— / (2),

где г =

Чтобы это равенство было тождественным относительно г, необходимо, чтобы а =1/2. Уравнение для /(г) будет иметь вид

 

/"(*)• 2а2 Г (г) = 0.

 

(28)

Из начальных

условий (27)

для и (х, t)

находим

 

/ ( — со) = 0,

/ ( +

со) =

1.

(29)

Таким образом, задача для /(г) поставлена.

Интегрируя соотношение (28),

получим

In/' (г)

-г2

In С,

или

/ ' (г) =

C e-z2/(<«*>.

4а2

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

2/(2 а)

 

 

 

 

 

 

/(г) =

С 5 e-V/W) di = 2aC $

e~*dy.

*) Об автомодельных решениях см.

С е д о в

 

Л. И., Методы по­

добия и размерности в механике,

«Наука», 1972.

 

136

Эта функция удовлетворяет первому из условий (29); нз второго условия находим соотношение для определения С:

СО

1 = 2аС ^ е~У2dy = 2aCVn<

Отсюда С= \/{2аУп), Таким образом, решение задачи

(26)—(27) имеет вид

x/Y4аЧ

— со

Его можно записать также в виде

Оx/Y4~аЧ

u{x, t) = -J=

<\e - y 2dy + ^=

С

е-У2dy

 

у л

J

]' it

,)

 

ИЛИ

и (х,

t) =

1 + ф /

X

(30)

 

 

 

 

У АаЧ

\

где Ф(г) = -^=

[ е~у2 dy —интеграл ошибок. Эта функция

у л

J

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

удовлетворяет уравнению (26) и имеет непрерывные в Вг производные иххх и uxt. Дифференцируя тождество а2ихх= = щ по переменной х, получим тождество

 

 

(Цх)хх = (^ л )о

которое

означает,

что производная их функции (30) яв­

ляется

решением

уравнения (26). Она удовлетворяет на­

чальному условию

их (х, 0) = r | ' ( x - g ) ,

 

 

где производная единичной функции понимается как произ­ водная обобщенной функции (см. Дополнение). Поскольку г|' (х) = б (х), то их (х, 0) = 8 (х —£). Таким образом, про­ изводная их функции (30) является решением уравнения (26), удовлетворяющим начальному условию (27). Очевидно, она непрерывна всюду в замкнутой области Въ кроме

точки (£; 0). Согласно

определению

функции

Грина

G(x —§, t) функция

их совпадает с нею,

т. е.

 

0 { х - %'

<) = 7 Ш е~ " ~ т "°”к

<31)

Нередко функцию

р-ху^аЧ)

 

 

 

1

 

 

У 4na2t

137

называют фундаментальным решением уравнения тепло­

проводности (26).

 

 

ц0г) (х — хг), то

Если

в условии (27) функция ср (я) =

решением задачи (26)—(27) будет функция

 

 

 

и(х, t) = ‘g 1+ Ф X—хг \

 

 

 

 

 

V 4аЧ /

 

 

Если же

и(х, 0) = и0[ц (х —лу) — ц (х — х2)],

то

 

 

и(х, t) = u«

X— ЛЦ^

X—хг \

(32)

 

Ф y l W t j -

Ф У ~4аЧ ) -

Представим себе теперь, что на отрезке [xlf ж2] в на­

чальный

момент времени (t= 0)

выделилось количество

тепла Q,

равномерно

распределенное по

отрезку.

Это

равносильно заданию начальной температуры

 

°) = -с ^ ~ - ху

^

(* ~ * 1 ) ~ П ( х ~ х2)1.

 

Такому

начальному

значению

соответствует, в силу (32)

,

решение задачи

Коши

 

 

-х2

 

 

 

 

 

 

■Ф

 

 

 

 

 

 

V 4аЧ ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«<*•

 

 

 

(33)

 

 

будем стягивать отрезок [х1( х2] в точ­

 

Если

мы теперь

 

ку х0 и сохранять

при этом количество тепла Q, то функ­

 

ция (33) будет стремиться к пределу, равному

 

 

Я д Ф ( Х

.2 \

— 9 J ..._ „ - ( * - * , ) 7 ( 4 а » 0

 

 

ср дг

\ У 4аЧ J z=x0

СР V 4паЧ

 

 

Таким образом, функция G (х — t) дает температуру в точ­ ках бесконечной прямой (например, бесконечного тонкого стержня) при t > 0 , обусловленную мгновенным выделе­ нием в начальный момент времени (t = 0) в точке x = g количества тепла Q = ср; поэтому вполне оправдано ее вто­ рое наименование как функции влияния мгновенного точеч­ ного теплового источника. Если ЦФср, то температура равна

Ф ^ — Я-

 

З а м е ч а н и е . Если в точках

и | 2 в начальный

момент времени мгновенно выделились количества тепла, равные соответственно Qx и Q3, то температура на бесконеч­ ной прямой, обусловленная этими источниками, равна

|G ( * - £ x , t ) + ^ G ( x - l 2, t).

138

2. Функцию Грина G(x —|, t) можно также построить следующим способом. (Указывается лишь алгоритм по­ строения, без его обоснования.)

Допустим, что функция G (х, t) является решением задачи Коши

о2ихх = щ, и(х, 0) = 6 (х).

Тогда выполняются тождества

a2Gxx = G(, G(x,0) = 8(x).

Применяя к этим тождествам преобразование Фурье и вводя обозначение

00

 

 

g(w, 0 = $

G(x, t)e~ixadx,

 

— 00

 

 

получим

 

(34)

gt + a2u)2g = 0, —

g K

0) = 1,

(35)

так как преобразование Фурье от производной k-ro по­ рядка (х) функции f(x) равно произведению (iw)k на преобразование Фурье функции f(x) и преобразование Фурье дельта-функции б (х) равно 1.

Очевидно, решением задачи (34)—(35) является функция

g(со, t) = e~a2aH.

Применяя к ней обратное преобразование Фурье, находим

G(x, t)\

СО

 

0(х, t ) — y $ г (Ш,

= F

— 00

 

Мы при. этом воспользовались тем, что

СО

d(x) —- g—Х*/(Х2

У £—

J

а

— со

 

Так как уравнение (26) инвариантно относительно пре­ образования сдвига, функция Грина с особенностью в точ­ ке х = 1 будет равна

G { x - l , 0 = г7= ^ - (*-а*/<^)..

У 4лаЧ

139

Смотрите также файлы