Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл (13,34Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3. Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой (задачи Коши)

ина полупрямой

1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши. Рассмотрим сначала однородное уравнение

а2ихх = щ,	(36)
и (х, 0) = ср(х),	(37)
где ср (х) — непрерывная функция.	(п. 4) и
Согласно рассуждениям § 1 настоящей главы	(п. 4) и
формуле (23) решением будет функция
СО
и(х, t)= ^ G (х — I, t) ф (\|) of\|.	(38)
— со

Надо лишь показать законность вычисления производных ихх и ut путем дифференцирования по этим переменным под знаком интеграла. Мы это сделаем позже.

Формулу (38) можно получить и из наглядных сооб ражений. Для этого воспользуемся температурной интер претацией задачи. На прямой t —0 возьмем отрезок длины d\, содержащий точку х = |. Количество тепла, выделив шегося в момент ^ = 0 на этом отрезке, равно срф (£)

Это количество тепла можно отнести к точке |. Таким


образом, мы будем		иметь точечный источник, в котором
мгновенно в момент		времени t = 0 в точке х = 1 выдели
лось	количество тепла		dQ= сру (%) d%.	Температура на
бесконечной прямой		для ^ > 0 , обусловленная действием
этого	источника, равна
	§ G ( x - l ,		0 = <p(\|)G (*-g,	t)dl.

И так для каждого отрезка длины d% прямой ^ = 0. Имея в виду замечание на стр. 138, естественно предположить, что температура, обусловленная действием всех таких от резков, т. е. обусловленная заданием начальной темпера туры и(х, 0) = ф(х), будет равна

СО
и{х, t)= $ ф (l)G( x - l, t)d\.	(39)

— СО

140

Если это верно, то функция (39) и будет решением задачи Коши (36)—(37). Чтобы убедиться в справедливости по следнего, достаточно доказать, что функция (39) удовлет

воряет уравнению (36) для всех				— о о < л ; < о о и t > О,
а также начальному условию (37).
Проверим сначала условие (37). Согласно формуле (39)
и учитывая		также, что G(x —£,	0) = 8 (х — £), имеем
	00		СО
и(х, 0 )=	$	<p(£)G(x —£, 0)dl=	\	cp(£)8 (x -£ )d £ = cp(x).
—	СО		— со

Последний интеграл равен ср (х) согласно основному свой ству 8-функции. Таким образом, функция (39) действи тельно удовлетворяет условию (37).

Чтобы установить, что функция (39) является реше нием уравнения (36), достаточно доказать, что эту функ цию молено дифференцировать по л: (дважды) и по t под знаком интеграла. Действительно, если

	СО
ихх =	$ 4>{%)Gxx( x - l , t)cll
—	СО

со

И/= $ 4>(l)Gt ( x - t , t)dl,

—СО

Т О

оо

агихх — щ = \ ср (£) {a2Gxx - G,} dl = О,

—ОО

так	как		функция	G(x —£,		t) является		решением уравне
ния	(36).
Очевидно, достаточно показать, что интеграл (39) схо
дится,		а	интегралы
	СО			СО				со
	^	Ф (s) Gt dc,		$	ф (ё) G, dl		и	$ ф (ё) Gxx dl (**)
	— СО			—	СО			— СО
равномерно сходятся					в	области	ВЕ= {— о о -< х < о о ;
t ^ e } с произвольным е >						0 .
Для упрощения выкладок будем предполагать при этом,
что ф (х)			ограничена,		т. е.	[ ф (х) \| «с; М .		В интеграле (39)

141

произведем замену		переменной			интегрирования:	а =
— (£ — х)!У~\аЧ. Тогда			(см. формулу (31), стр. 137)
			СО
и (х,	^) = — .		{	ф (х-\-2ааУ t) е~а2da,
	у	л	J
	со		— со
	со
\| и(х, t)\s^ ~=	( 'го (х +			2аа ]/7 ); е~а‘da ^
\| ' я	J
	— т СО				со
					со
				у п	{ e - ^ d a = м.	(40)
				у п	J

— СО

Таким образом, интеграл (39) сходится, притом равно мерно, в области В1 и \ и \ ^ М . Если предположить до полнительно, что ф (х) непрерывна всюду, то из этого

следует также непрерывность функции	(39) в замкнутой
области В1*).	следует, что если
З а м е ч а н и е . Из неравенства (40)	следует, что если

начальные значения фх (.х) и ср2 (х) отличаются меньше чем на 8, т. е. | 9 i (х) — Ф-2(х) | <С 8 для всех х, то соответст вующие им решения задачи Коши ut (х, t) и и2 (х, t) также отличаются друг от друга меньше чем на е, т. е.

[ (х, t) — « 2 (х, t) | < e.

Таким образом, решение задачи Коши непрерывно зави сит от начальных значений.

Рассмотрим теперь первый из интегралов (**):

СО

0 0

$ Ф(1 ) М \| = -			. 5	^ G ( x - l , t)dl +
— со		— оо
				со
			+	I	t)dl-	(***)
				— со
Первый	интеграл		заменой переменной а =		(£ — x)j\!4аЧ
сводится	к интегралу
	СО
	\	—г— ф(х + 2 a a V t)e~ a*da.
	J	2	у n t

*) При дополнительном предположении об ограниченности функ ции ф (х). Если ф(х) кусочно-непрерывна, то функция (39) непре рывна всюду в В ъ кроме точек прямой / = 0, в которых ф(х) раз рывна.

142

Этот интеграл равномерно сходится в области Вг

с произвольным е >		0 , поскольку подынтегральная функ
ция мажорируется в этой области				функцией	—	е~а\
интеграл от	которой				2 у ль
		сходится. Второй интеграл (***) той
					со	а2
же заменой	переменной		сводится к	интегралу	f		х
					\	—
					J	У л t
					—00
Х Ф ( х - \ - 2 а а	Y t ) e ~ al	d a .	Этот интеграл равномерно схо

дится в области Вг с произвольным е >. О, поскольку под интегральная функция мажорируется в этой области функ

цией Му:-~ а 2е ~ а \ интеграл от которой сходится. Анало ев я

гично поступаем с третьим интегралом (**). Таким образом, мы доказали, что формула (39) действительно дает реше ние задачи Коши (36)—(37). Этот результат верен и для функций ф ( х ) , неограниченно возрастающих при х-»-оо, например для таких, для которых существуют постоян

ные b и N такие,		что \| ф (*) \|				N e bx.
2 .	Аналогично строятся решения задач:						и (0,	/) = 0,
a)	a2uxx = Ui,	и(х,	0) = ф(х)			(0 ^ * < о о ),	и (0,	/) = 0,
	и(х,		00	Ф (£)<?(> 1; t ) d l \
	и(х,	/) =	$	Ф (£)<?(> 1; t ) d l \				(41)
			О
б) а2ихх = щ, и(ху 0) =				ср(х) (0 ^ * < о о ) , их (0 , /) = 0 ,
			00
	и(х,	/) =	$ G** (х,			1\ Оф ‘X)dl-		(42)
			0
	Функция Грина задачи
		a2uxx-{-f(x,				t) = u(,	•	(43)
		и (х,			0) = ф (х),			(44)
			и (0 ,		0 = Ф(0 ,			(45)
				х, / 3 =0,