Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
непрерывное всюду в замкнутой области
=^ЗгО},
кроме точки (|, 0).
Для нахождения |
этой функции |
Грина воспользуемся |
|||
следующим свойством решения задачи Коши. |
|||||
Для решения задачи Коши |
|
|
|||
|
|
|
а2ихх = щ, |
|
(46) |
|
|
|
и(х, 0) = ф(х) |
(47) |
|
с нечетной функцией ф (х) выполняется тождество |
|||||
|
|
и (0 , 0 = 0 , |
f> 0 . |
||
Действительно, |
решение задачи |
(46)—(47) имеет вид |
|||
|
|
|
СО |
|
|
и ( х , |
0 = |
\ G ( x — l , |
0 |
ф (Ю dl, |
|
где G (х — |, 0 |
________р - (х -| ) У (4 аЧ) |
Полагая здесь л" = 0, |
|||
VЫаЧ |
|
||||
|
|
|
|||
получим
00
,) = 7 Ш S- 5,л,я,ф © ^ = 0 ,
так как подынтегральное выражение есть нечетная функция. Решение задачи Коши
a?G$x= Gf,
G*(x, g; 0) = 6 ( х - Ъ ) - 6 ( х + 1), l > 0 ,
непрерывное всюду в области Ви кроме точек (— |, 0) и (I, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой функцией Грина. Очевидно,
G* |
(x,l\ t) = : |
1 |
( |
(■* —1)г |
— ехр |
(* + £ )2 ] |
|
У Ы а Ч |
Г ХР |
АаЧ |
|
4 аЧ |
|
4. |
Функция |
Грина задачи |
|
|
||
|
|
a2uxx + f(x, t) = uf, |
(48) |
|||
|
|
|
и {х, |
0) = ф (х), |
|
(49) |
|
|
|
их (0, |
0 = Ф(0 |
|
(50) |
определяется следующим образом, 144
Функцией Грина G** (х, g; |
t) задачи (48)—(50) назы |
вается решение задачи |
|
a2G*x = Gf, |
|
G**(x, g; 0) = |
6 ( x - g ) , |
GT (0 , g; 0 = 0 , |
x, g, t > 0 , |
непрерывное всюду в замкнутой |
области Вг, кроме точки |
&0 ).
Для нахождения ее воспользуемся следующим свойст вом решения задачи Коши (46)—(47).
Для |
решения |
задачи |
Коши |
(46)—(47) с четной |
функцией |
ср (х) выполняется тождество |
|||
|
их (0 , 0 = 0 , |
* > 0 . |
||
Действительно, |
дифференцируя функцию |
|||
|
|
СО |
|
|
|
и (х, |
0 = 5 |
G(x —g, |
0 ф (g) dl |
—СО
по переменной х и полагая затем х = 0 , получим
со
“'< 0'
так как подинтегральное выражение есть нечетная функ ция.
Решение задачи Коши
|
G**{x, g, |
aaG £=*G r, |
|
|
|
|||
|
0) = 6 (x -g ) + 6 (x + g), |
g > 0 , |
|
|||||
непрерывное |
всюду в области |
Blt |
кроме точек (— g, 0) и |
|||||
(g, 0), согласно упомянутому |
свойству и будет искомой |
|||||||
функцией Грина. Очевидно, |
|
|
|
|
||||
G** (х, |
^ |
|
ехр |
Ш |
+ ехр |
О Д Н О |
||
|
|
У 4лаЧ |
|
ш |
J |
|||
5. |
Доказательство того, |
что функции (41) и (42) яв |
||||||
ляются решениями задач а) и б), проводится совершенно |
||||||||
аналогично предыдущему. |
|
|
|
|
||||
З а м е ч а н и е |
1, Из формулы (39) следует, что тепло |
|||||||
распространяется вдоль стержня мгновенно. Действительно, |
||||||||
пусть начальная температура ф (х) положительна на конеч |
||||||||
ном |
отрезке |
(хх, х2) бесконечного стержня |
и равна |
нулю |
||||
вне |
(хг, |
х2). |
Тогда температура |
произвольной точки х |
||||
145
стержня равна
и(х, t)= \ (p(l)G(x-l, t) d t
Xi
Очевидно, при сколь угодно малых t > О эта функция положительна для любого х. К такому выводу мы пришли вследствие неточности физических предпосылок, которыми мы пользовались при постановке задачи Коши (например, при написании уравнения (36)).
З а м е ч а н и е 2. Полученную формулу (39) можно рассматривать как свертку (см. Дополнение) фундаменталь ного решения
Glx, Л = _ Д ==е-^/(4аЧ)
К4яа2^
сначальной функцией ср(х), т. е.
и(х, t) = G (х, t) * ср (х).
Если в этой формуле в качестве начальной функции ф (х)
брать произвольную финитную обобщенную функцию, то
и (х, t) будет также решением. задачи Коши. 6 . Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р 1. Решить задачу Коши
|
|
2 |
U(, |
/ m |
0) = |
/ ч ( “1. * < 0, |
||
|
a 2u xx — |
и(х, |
ер (х ) = |
< |
х :> 0. |
|||
По формуле (38) |
|
|
|
|
(. и2, |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
и (х, |
t) = |
|
|
|
|
|
|
|
- |
J( p©G( JC- E, |
t ) d l = Ul I |
G ( x - l , |
+ |
G ( x - 1 , t)dl. |
|||
Производя замену переменной ос = (х —£)/|/4а2^, получим |
||||||||
|
|
x)YАа.4 |
|
|
— со |
|
|
|
и (х, |
t) = — — |
f |
е~“3d a ------ |
|
,1 |
|
|
|
|
V л |
J |
|
V Л |
|
|
||
|
|
СО |
|
|
x/YAaH |
|
|
|
|
|
|
/ 0 |
xfV^a2i\ |
f |
2 |
|
|
|
|
« i f f , |
f |
|
|
|||
|
|
|
«3 / |
f |
|
|||
|
|
V n [ ) ^ |
} |
) ' |Лт |
\ |
|
||
|
|
|
|
|
|
'x/Y4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
«l + |
«2 |
Ф |
|
|
|
|
|
|
% |
' |
|
|
|
|
|
|
|
V ЬаЧ |
||
m
П р и м е р 2. Решить задачу Коши
“\ x x = ut, и(х,0) = Ае~х\
По формуле (38) имеем
u( x, t ) = A ] e - ^ G (x —l, t)dl-
—00
Произведя замену переменной а = (| —х )//4 а + получим
и (х, t) = - 4 - |
X |
Уп |
3 |
е- ( х + 2а а Г ( У е- а * d a _
Ле |
- A x a a V t |
— (4а П + |
1 ) а 2 j a = = : |
|
Vп
|
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lx*a*t |
со |
f |
2axY t , |
r^-r~.— |
, |
|
|
|
Лр— х г -------------- |
(• |
— |
■■■■--------- НУ 1+4 0 ^0 |
) d a _ |
||
|
|
|
А |
, е 1 + 4 « ^ |
^ е \ K l + 4 аЧ |
|
|||
|
|
|
) |
Я |
|
|
|
|
|
Произведя в последнем интеграле замену переменной по |
фор- |
||||||||
муле |
|
Qcix~\ft |
______ |
получим |
|
|
|
||
у--------—+ |
У~1 + 4 аЧ « = р, |
|
|
|
|||||
|
У |
1 + 4а2/ |
|
|
|
|
|
|
|
и (х, |
t) - |
j L«-*V(i+ 4o*/)___У |
|
|
Р2£ф = |
|
|
||
|
|
У я |
|
V 1 + 4 а-И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
-*»/(!+4а»0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 + 4 а2* |
|
|
7. Обратимся к неоднородному уравнению. Решение задачи Коши
a2uxx + f(x,t) = uh |
(51) |
и (х, 0) = ф (*) |
(52) |
будем искать в виде суммы двух функций и (х, t) = v (х, t) + -tw(x, t), являющихся решениями следующих задач:
v. a2vxx = vt, |
v(x, 0 ) = |
ф (х ); |
w: a2wxx + f(x, |
t) = wt, |
(51д) |
w (x, |
0) = 0 . |
(53) |
Функция v(x, i) дается формулой (39). Решение задачи (51j), (53) можно получить методом, описанным в гл. III,
147
§ 6 , п.1. Это решение равно интегралу t
w {х, t) = ^Ul (х, t, г) d%,
о
где Щ (х, t, х) есть решение однородной задачи Коши
аЧЦхх = Щь Щ\,_х= Пх, т).
Согласно § 1 |
настоящей |
главы оно |
равно |
|
||
Щ (X, t, т) = |
СО |
G(_x— l , t |
— T)f (|, т) d\. |
|
||
5 |
|
|||||
Следовательно, |
|
■—СО |
|
|
||
СО |
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
||
w{x, |
t) — ^ |
^ |
G (х — £, t — т )/(|, т) d%dr. |
(54) |
||
0 — со
Эту функцию можно также получить, если воспользоваться температурной интерпретацией функции Грина и урав нения (5 К).
В этом уравнении cpf(x, t) есть плотность тепловых
источников |
в |
единицу времени *). Следовательно, |
на |
|||
отрезке |
длины |
d\, |
содержащем точку £, за промежуток |
|||
времени |
(т, |
т + |
с/т) |
выделится |
количество тепла dQ— |
|
— cp/(£, |
x)d%dx. Если это количество тепла считать выде |
|||||
лившимся в |
точке |
| мгновенно |
в момент времени т, |
то |
||
температура, обусловленная действием этого источника, будет равна
=x ) G ( x - l , t — x)dldx.
Имея в виду замечание на стр. 138, естественно предполо жить, что температура, обусловленная действием всех таких источников (распределенных по всей прямой) в тече ние промежутка времени от 0 до /, будет равна
t |
СО |
|
w(x, 0 = $ |
5 f{l,x)G(x — \ , t — x)d%dx. |
|
О — оо |
|
|
Если, в частности, тепловой источник действует лишь |
||
в точке | 0, но изменяется со временем, |
то функция / (х, t) |
|
в уравнении (51) будет иметь вид |
|
|
/(X, 0 = /( О б ( * - ы . |
|
|
*) См. вывод уравнения теплопроводности |
(стр. 30). |
|
148