Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Тогда решение задачи (51х), (53) с такой неоднородностью будет иметь вид

Мы здесь воспользовались свойством б-функции.

также можно записать в виде свертки (по двум перемен­ ным!) фундаментального решения G(x, t) с функцией f(x, t):

0 — со

З а м е ч а н и е 4. Решение задачи (5К), (53) на полу­ прямой с краевым условием w (0 , t) = 0 (или wx (0 , i) = 0) строится аналогично и дается формулой

оо

§4. Решение задачи о распространении тепла в трехмерном (двумерном) пространстве

Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном пространствах.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

О п р е д е л е н и е . Функцией Грина G(M,M0; i) задачи Коши для уравнения (55) называется такое его решение, которое:

а) удовлетворяет начальному условию

149

б) непрерывно всюду в замкнутой области

где их (х, t), и2(у, t), u3(z, t) —решения соответствующих одномерных задач:

a2ulxx = ulh их{х, ()) = ф1 (х)

ит. д.

До к а з а т е л ь с т в о . В силу условий леммы

а2А {ихи2и3) = и2и3а2и1хх+ ихи3а2иш + u y u tfu ^ ==

— U%u3uxt -)- UxU3U2t-j- UxU2U3t = (UiU2U3){.

Таким образом, u = uxu2u3 удовлетворяет данному урав­ нению и, очевидно, также начальному условию.

Заметим, далее, что б (М, Мф —б (х — х0) б (у — у0) х X б (г — г0). Поэтому, применяя доказанную лемму к задаче (55)—(56), получим искомую функцию Грина в виде

G(M, М0; t) = G(x — x0, f)G (у — у0, t)G(z — z0, t).

Используя формулы для одномерных функций Грина G(x —х0, t) и т. д., получим

(X—Хр)2+ (у— уо)2+ (г—г(,)2 ~

для двумерного пространства. Эти решения называют также

фундаментальными решениями уравнения теплопровод­ ности a2 ku = ut.

150

По причинам, о которых мы говорили в § 1 (стр. 138), эти функции называют также функциями влияния мгно­ венного точечного теплового источника. Если в точке М0 в начальный момент t = О мгновенно выделится количество тепла, равное Q, то температура в произвольной точке М пространства, обусловленная действием этого источника,

почти дословно так же, как это делалось для одномерного случая. Поэтому мы их не будем приводить.

З а м е ч а н и е . Решение задачи Коши a2Aw = «<; и (М, 0) = ср(х, у, г)

можно также записать в виде свертки (по трем перемен­ ным!) фундаментального решения

151

с начальной функцией ср (х, у, z):

и{х, у, z, t) = G(x, у, z; 0*ф(*> У> г) =

СО

= 555 G ( x - l , y - r \ , z - £ ; /)ф(£> Л, £)</£сМ£-

—СО

Мы проиллюстрировали применение метода функций Грина к решению задач в бесконечном пространстве или в полупространстве. Как указывалось в § 1, этот метод можно применять также и к решению краевых задач в ограниченных (по пространственным переменным) областях. Так, если определить функцию Грина первой краевой задачи как решение задачи

можно записать в виде i _

и(х, 0 — $ Ф (£)G(*> I; t)dl.

О

Аналогично обстоит дело в случаях второй и третьей краевых задач. Однако этот метод не характерен для ограниченных областей и обычно не применяется.

§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям входных данных

Пользуясь формулами (38) и (57), (54) и (58), нетрудно показать устойчивость решения задачи Коши для простей­ шего уравнения параболического типа к малым измене­ ниям входных данных: начальных значений ф(х), ср (М) и неоднородностей в уравнениях (плотностей источников) f{x, t), f(M, t).

*) Решая эту задачу методом разделения переменных, находим

п — 1

152