Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Мы докажем соответствующие теоремы для одномерного случая. Для двумерного и трехмерного случаев они форму­ лируются и доказываются совершенно аналогично.

Т е о р е м а 1. Если в задачах Коши

для начальных значений фДх) и ф2 (лг) выполняется нера-

венство | ф1(*) -Ф а(*)1< е (61)

при всех значениях х, то для решений этих задач и (дг, t)

иv (х, t) выполняется неравенство

\и{х, t) — v (х, i) | sg е

решения задач (59) и (60), а также неравенство (61), получим

ОО

—СО

Справедливость последнего равенства устанавливается непосредственным вычислением интеграла. Производя в нем

Теорема доказана.

Для доказательства устойчивости решения задачи Коши к малым изменениям неоднородности в уравнении, очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми начальными значениями.

Те о р е м а 2. Каковы бы ни были положительные числа е

иТ, существует такое 6 = 6 (е, Т), что если в задачах Коши

153

то для решений этих задач и (х, t) и v (х, /) выполняется неравенство

решения задач (62) и (63), а также неравенство (64), для

СО

^G ( x - l , t - x ) d l = \ ,

—ОО

справедливым при любых значениях т < t . Оно устана­ вливается непосредственным вычислением путем замены

переменной интегрирования g = х + а ]/4 а 2 (^ — т).

З а м е ч а н и е . В трехмерном случае для доказательства соответствующих теорем надо использовать равенство

СО

У ~ т1’ z ~ & t)dldx\dl = \,

—СО

154

справедливость которого устанавливается непосредствен­ ным вычислением с использованием замены переменных

£ = * + а ] / 4 аЧ, П = г/+ Р V^cM, £= 2 + у YbF t.

Все остальные выкладки и оценки остаются прежними.

ЗАДАЧИ

1. Начальный ток и начальное напряжение в полубесконечном однородном проводе C X xsC co равны нулю. Самоиндукция единицы длины провода пренебрежимо мала. С момента ( = 0 к концу провода приложена постоянная э. д. с. Е0. Найти напряжение в проводе.

2.Найти распределение температуры в неограниченном простран­ стве, вызванное тем, что в начальный момент i —0 на сферической поверхности радиуса г0 выделилось мгновенно Q равномерно распре­ деленных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного сферического источника тепла.)

3.Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра­

нице длины бесконечной цилиндрической поверхности радиуса г„ выделилось Q равномерно распределенных единиц тепла. (Построение

9. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника на бесконечной прямой для уравнения

а?ихх —-hu — щ.

Г л а в а VII

МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Метод функций Грина, описанный в гл. VI, приме­ няется к решению весьма широкого круга линейных задач. В настоящей главе мы рассмотрим применение его к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Простейшим и наиболее часто встречающимся в прило­ жениях уравнением этого типа является уравнение Лап­ ласа Ды = 0. Его решения — гармонические функции — обладают рядом специфических свойств, которые пона­ добятся нам при изучении свойств функций Грина. Поэтому мы рассмотрим прежде всего некоторые свойства гармони­ ческих функций.

§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармонических функций

Все результаты, к которым мы придем в этой главе, будут получены из небольшого числа формул и соотно­ шений.

Выводом этих формул мы и займемся прежде всего.

1. Пусть функции и(М) и v (М) обладают следующим свойствами:

1) непрерывны вместе с частными производными пер­

вого порядка всюду в замкнутой области D, ограниченной поверхностью S, кроме, может быть, конечного числа точек;

2 ) интегрируемы вместе с частными производными пер­ вого порядка в области D;

3) имеют интегрируемые в области D частные произ­ водные второго порядка.

156

Тогда, как известно,

R [и, у] = — ^ vL [и] dx =

D

Здесь L [u] = div (k Vu) — qu. Вычитая R [и, v] из R[v, u],

получим вторую формулу Грина:

Для одномерного случая вторая формула Грина имеет вид

Для двусвязной области D', ограниченной двумя кон­ центрическими сферами Sr и Sr, (Rt <CR) с центром в точке М0, формула (2) запишется в виде

§ {vL [и] — иЬ [у]} dx =

не иметь решения. Действительно, пусть L[n] = div (kVu). Тогда для решения второй краевой задачи и (М), непре­ рывного вместе с частными производными первого порядка

*) См. формулу (8) гл. IV.

157

Таким образом, функции f{M) и ф (М) должны быть свя­ заны соотношением

оs

Вчастности, если f{M) = 0, то функция ф (М) должна удовлетворять условию

Легко понять физический смысл соотношений (7) и (8), если и (Л4) интерпретировать как стационарную темпера­ туру, a k(M) —как коэффициент теплопроводности. Тогда соотношение (7) выражает следующий очевидный факт: для того чтобы существовало стационарное решение, необ­ ходимо, чтобы количество тепла, образующееся в области D за промежуток времени At от действия внутренних источ­

фундаментальными решениями уравнения Лапласа.

Применяя формулу (4) к гармоническим в области D функциям (непрерывным вместе с их частными производ­ ными первого порядка в D + S), получим

158