Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

вого порядка в Dr — Dr -\- Sr, равно

среднему арифмети­

ческому ее значений на сфере Sr,

т.

е.

и (Мо) = 4nRi § u(M)do.

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся формулой

(5),

полагая

в ней L [и\ = Аи (k (М) =

1),

v=

(гМом = V(x - х0)2+

(у - у,,)2+ (z - z0f ) ;

ностях соответственно 1/R

и 1/Rlt 6 = 1 ) . Таким образом,

будем иметь

$ и Т г { т У а -

\ и Т г { т ) й о = ° -

( п )

SR

sRi

и{М0) = %й? $ “ W d s .

(1 2)

cr

«

§ и (р ) da>

(13)

SR

где Sx — площадь единичной сферы.

Справедлива также

Пусть и(М) непрерывна в ко­

О б р а т н а я

т е о р е м а .

нечной области

D. Если для любого шара DR a D ,

огра­

Мы

не будем приводить доказательства этой теоремы.

Эти

теоремы

позволяют дать

другое,

эквивалент­

ное прежнему, определение гармонической

в области D

функции.

Функция и (М) называется гармонической в области D,

если она непрерывна в D и для всякой шаровой

области

DR, ограниченной

сферой SR с центром в точке

M0^ D

и принадлежащей вместе с SR области D, выполняется

соотношение

(13).

его легко перенести

Пользуясь

таким определением,

гать,

что u(M)=£ const

в D.

Обозначим через

H's

наибольшее значение функции и

на S,

а через HD— наибольшее значение функции

и в D.

Нам

надо доказать, что Но = H s• Предположим,

что это

неверно. Тогда HD> H S и в некоторой точке M0(M0^D)

имеем и (М0) = HD.

Рассмотрим вспомогательную функцию

J.у

J_J

v {М) = и (М) +

s [(х -

х0Г + ( у - у0у + (г -

г0)*],

*)

См. Л е в и П.,

Конкретные

проблемы функционального ана­

лиза,

«Наука», 1967.

v (М) <

Hs

Hp + Hs

< H D.

2

Следовательно,

непрерывная

в D функция

v(M) должна

достигать

наибольшего значения

в некоторой в н у т р е н ­

ней

точке

Мх области

D.

В этой

точке

должно быть

Ду

0, так как в точке максимума

ни одна из произ­

водных vxx, Vyy,

vzz не может быть положительной. С дру­

гой стороны,

Н п — Н я

Ял - Я с

0.

Ду = Дм + 3 —

—- = 3 —

—- >

Полученное противоречие заставляет

отказаться

от гипо­

тезы,

что

HD> H s . Следовательно,

HD= HS■ Приме­

няя

полученный

результат

к функции— и, мы получим

доказательство

теоремы

и

для

наименьшего

значения.

С л е д с т в и е .

Гармоническая

в области D

функция

6 В. Я. Арсенин'

161

меньшем значении -наибольшее

и наименьшее значения и

равны нулю.

Следовательно,

и = и1 —«2 = 0 всюду в D.

Легко также доказать теорему о непрерывной зави­

симости решения

первой

внутренней краевой задачи от

граничных значений для

уравнения Au —

Т е о р е м а

1.

Пусть их (М) и и2 {М) — решения первой

прерывные в D и принимающие

на границе S области D

значения фДМ) и ф2 (М). Тогда,

если всюду на S

выпол­

няется неравенство | cpL— ф2 [ <

е,

то всюду в D

выпол­

няется неравенство

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функция и ^ щ — щ, гармони­

ческая в D,

непрерывна

в D, и и \s —

— <р2.

Поскольку

— е <

фг — ф2 <

е, то по теореме о наибольшем

и наимень­

шем значении наибольшее

и

наименьшее

значения функ­

ции

и (М )

заключены

между — е и

е.

Следовательно,

| и | < е, т. е. | щ (М) — и2(М) | < е.

Верна также

Т е о р е м а 2 . Если последовательность непрерывных в не­

которой замкнутой и

ограниченной области D и

гармо­

нических в D

функций

ии «2, .... ип, ... равномерно схо­

дится на границе области, то она также

равномерно

сходится в D. При этом предельная функция и (М) будет

гармонической в D *).

§

2. Сущность метода функций Грина. Некоторые

свойства функций Грина

1.

Будем

рассматривать краевые задачи

L[u]=f{M)

(в D),

(14)

(ai^ + O 2 « )s = 0

(15)

*)

Читателю

рекомендуется

самостоятельно

доказать

первое

утверждение этой

теоремы,

используя достаточный критерий Коши

сходимости

последовательности и принцип максимума

и минимума.

Подробнее о свойствах гармонических функций см. книгу И.

Г. П е т ­

р о в с к о г о

«Лекции об

уравнениях с частными производными»

(«Наука», 1965).