Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

u{P) = \j k (М) G (М ,

Р) Ф (М) doAI —

s

- $ G ( M ,

P)f{M)dTM- \

ИЛИ

D

S

U(P) ^ k (M) G(M,P) Ф (M) daM-

\G(M,P)f{M) dxM+ C,

s

D

где

C = const

[c = — [ k

doMJ.

ваемом

полупространстве

(например, г >

0) и равной

— 1/(4ягД1р)

на его

границе.

Такой

функцией, очевидно, является функция

о= — 1 / ( 4 ) ,

где Р1~

точка, симметричная точке Р относительно

плоскости Q. Действительно, функция

— 1/(4ягМР^

гармонична в

полупространстве г > 0 и равна

1/(4пгД1р)

в точках M

e Q , ибо для

таких точек r Mp = r MPi-

Таким

образом,

искомой функцией Грина

будет функция

1

1

G(M, Р) = 4ягМР

4ягЛ1р1 •

зарядами, будет функцией, гармонической

всюду,

кроме

точек Р и Ръ и равен нулю

на плоскости Q.

Аналогично для полуплос­

кости, ограниченной прямой /,

функция

Грина

имеет вид

G(M,

Р) =

1 ,

1

1 , 1

2я

In-------- Л-- In-------- ,

' МР

2 я

' МР,

где точка Рхсимметрична точ­

ке Р относительно прямой I.

П р и м е р

2.

Построить функ­

цию Грина первой краевой задачи

ограниченного

прямолинейными

для прямого

угла D на плоскости,

лучами

и /2.

Грина. Симметричных ей отно­

Пусть Р — особая точка функции

сительно границ точек будет две: Pt

и Р 2 (рис,

18).

Пусть

Р3 —точка, симметричная

точкам Р х

и

Р 2 относительно

продолжения

сторон угла.

Тогда

функцией

Грина будет следующая

функция:

G (М, Р) =

,

1 .

1

1

1п

—

1 .

1

1 ,

1

-П-- in

----

о — In

------

“Г =—1п

-----

2 я

'

МР

2 я

г ,

2л

г

МР.

1

2л

г

МР,

' МР,

Действительно, здесь функция v равна

—

1

I

1

1 ,

1

о - 1П-

-fr—

1п ------

о—1П---

2л

гМР,

2л

г

МР.

2я

гМР,

Она гармонична в прямом

угле D (как функция точки М)

и равна

-g -i-ln ----- на его

сторонах.

Последнее следует

из

того,

что если

ГМР

rMp = r MPi , г МРг = г МРз- если

J H s / „

то гмр =

г МР^

M < £ l i ,

то

Г МР , =

ГМ Р 3-

3.

Построить

функцию Грина

первой внутренней

П р и м е р

краевой

задачи для

круга

G( M,

Р) =

V.

из центра круга, и произведение их расстояний pi

и р

от

центра

равно

квадрату

радиуса, т. е.

PPi =

^ 2)-

Если

точка

М лежит

на окружности С, то, как вид­

но из

рис. 19,

r M P t =

— г м р ,

(27)

так

как

треугольники

ОМРг

и ОМР

подобны.

Поэтому

функция

■In --------

2п

Рг м р 1

1 .

R

(28)

од: In

-------- ,

МР

2л

рr MPi

П р и м е р

4.

Решить

первую внутреннюю краевую задачу для

уравнения Лапласа Ди = 0

в круге.

Искомое решение дается формулой

и(Р) = — ^ <p(s)-||-rfs,

(29)

получающейся

из формулы

(20) при f (М) = 0.

В рассматриваемом

случае функция Грина

G определяется формулой

(28).

п

dG

Вычислим

— ;

on

dG

-dG

cos(rt,

r) =

дп

dr

= - i n T ^ C0S(n' гм р ) ~ 2 лMгPЬt С0${п’ ГмР•)•

Из треугольников

ОМР и ОМРг (рис.

19)

находим

COS ( Я ,

^ 2 + ГЛ1Р—Р'

f

МР})

Я2 + Г3

Г Мр )

-

2RrMP

•

C0S^ ’

ОРг

гкг MPi

поэтому

dG

1

[ Ф + ' м р - Р2

R2Jr r"MPl — Pi\

дп С

2л (

2Rr-Mp

2Кгм р 1 j

Заменяя

г MPl

по формуле (27), а рх по формуле

pi = /?2/p.

получим

dG

1

R2-

р2

дп

2л,R

г*Мр

дС,

__

1

/?2 —

дп

с

~~ 2nR

R2+ р2 — 2Rp cos (0 — if>) '

Подставляя

это значение в формулу (29), получим интеграл Пуассона

1

2зх

(R2- р2) Ф (6) м

и (Р) =

2я

SR2+

р2 — 2Rp cos (G — ф) ’

(30)

где р, ф —полярные

координаты

точки Р , 1?, 6 —полярные

коорди­

наты точки

М на С.

Aы = /(Л4),

M ^ D ,

(31)

u |s =

<p(Al),

(32)

где D — односвязная

область,

ограниченная

кривой S.

Область D плоскости (х, у) можно конформно отобра­

зить на единичный круг | од | <; 1.

Пусть функция w = Ф1(z, t)

осуществляет это

отображение

и

точка

z — t

переходит

при этом в центр

круга од =

0,

т.

е. 'F (t,

t) = 0.

Тогда функцией Грина краевой задачи (31)—(32) будет

функция

G(M,

Р) = -2л 1п |Ф(г, о Г

(33)

в которой z — x-\-iy,

t ~~~1, |

/т),

х,

у —координаты

точки

М, £,

г) — координаты точки

Р.

осу­

В

самом деле,

поскольку функция w = xF(z,t)

ществляет конформное отображение области D, то она

аналитическая в области D и

4я (г,

t) Ф 0 при z Ф t, a

dW Ф 0 всюду в D, включая точку

z = t. Следовательно,

¥ (г,

t) = (z — t)F(z, t),

(34)

где F (г, t) —аналитическая

в области D функция

пере­

менной г и F (/, t) Ф 0.

Функция In F (z, t) = ln\F (г, t) j +

-\-iaxgF также аналитическая в области D.

Ее вещественная

часть

In \F (z, t) | —гармоническая

в области D функция.