Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

т. е.

считать D ——1.

Тогда соотношение (42) прини­

мает вид

— С _

--1_

k(s) ~

k (s) •

Отсюда С =

1. Таким образом, функция Грина

имеет вид

G{x,

s) =

У2 (s) Ui (х),

x ^ s ,

(43)

Уi (s) У2 (х),

А '5 г S.

Из формул

(43) и (39) непосредственно следует, что

Gx (x, х

0) — Gx (х,

х + 0) = —l/k(x).

(44)

4.

Теперь докажем две теоремы Гильберта

ни

была

1-я

т е о р е м а Г и л ь б е р т а .

Какова

бы

интегрируемая функция f(x),

решение у(х) краевой задачи

L[y] = — f{x),

(45)

«!*/' (0) -

Pi0 (0) = 0,

а 2у’ (I) + р2г/ (/) =

0

(46)

представляется формулой

y(x)J\G(x,

l)f(l)dl.

(47)

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим

формулу

Грина для

одномерного случая (§

1) к

функциям и = у(х) и

v =

= G(x,

s).

Получим

$ {G (х,

s) L[y] — y (x) L [G]} dx =

или

= k(x)[G(x, s) у’ (x) -

у (x) Gx (x,

s)]',

l

l

— $ G (x, s)f (x) dx -f \y (x) 8 (x — s) dx =

о

0

= k (x) [G (x, s) у' (A') -

у (x) Gx (x,

s)]'.

Из краевых условий (46) для у(х) и G(x, s) (см. опре­

деление) следует,

что левая

часть этого равенства равна

нулю.

Следовательно,

i

s)f(x)dx = y(s).

$G(*,

о

З А Д А Ч И

1.

Построить

функцию

Грина первой внешней краевой задачи:

а) для

круга; б) для шара (L [и\ ==Аи).

2.

Построить функцию Грина

первой внутренней краевой задачи

для

кругового сектора 0

71

(L [и] =

Аи).

гр й: - -

3.

Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи:

а) для

шарового слоя R1^ r - ^ R 2', б) для

кольца Rl ^ zr - ^ R 2.

для

4.

Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи

плоского слоя

0 йг г

Л (L [и] = Аи).

и минимума для гармони­

5.

Пользуясь

принципом максимума

а)

Всякая гармоническая

функция,

положительная во всей плос­

кости, есть постоянная.

{иДх,

у)}, i — 1, 2, ... , —•

б)

Т е о р е м а Г а р н а к а . Пусть

гармонические функции в конечной области D,

ограниченной конту-

СО

ром Г,

и непрерывные в D.

Тогда, если ряд ^

щ(х, у) равномерно

О п р е д е л е н и е .

Функцией Грина G(x, t) задачи Коши для

волнового уравнения а2ихх — и//

назовем решение задачи Коши

аЮхх =

Gu ,

G (х,

0) =

0, Gt (х,

0) = б (х).

Нетрудно установить непосредственной проверкой, что

G(x,

t) = 2a [i)(x + a t) - r } (x - a t)l,

1,

z >

0,

—единичная функция. В самом деле (см. Допол-

где г) (г) = |

г <

0

О,

нение, п. 1),

Gx (x,

t) = 2a [d(x-\-at) — 6(x — at)\,

Gxx (х,

t) = -~а [б' (х +

at) - б' (х - at)],

Gt (х,

0 = 2

[б(х + а0 + б(х —at)],

Gtt (х,

0

=

| -

[ б ' (х +

а О - б ' (х — at)].

Следовательно,

аЮхх (х, 0 = Gtt (х, t),

G{x,

0) =

2“

[rj (x)— r\ (x)] =

0,

Gt (x,

0) = -*

[б(х) +

б(х)] =

б(х).

Решение задачи Коши

a3vxx = vt(,

v(x,

0) =

0,

vt (x,

0) = ф (x)

будет представляться в

виде свертки

v(x,

t) = G (х,

0 * ф (х ).

(1)

r’v.v — Gxx ::: ф,

V’г— Gtt * ф*

Следовательно,

и^охх

vit -- )a3Gxx

Gtt) * ^ = 0*ф

0,

o(x,

0) =

G(x,

0) * ф (x) = 0 * ф (х) = 0,

vt {x,

0) =

Gt (x,

0) * ф (x) = 6 (x) * ф (x) = ф (x).

Свертку G * ф можно также записать в виде

оо

at

v ( x , 0 =

jj

G(£,

0Ч>(*-Б)<*Б= 2я Jj

(*-£)<&

— со

—at