Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

1

1

1

2я Ш | F (г, t) |

также

гармоническая

в D.

находим

Пользуясь формулой

(34),

1 ,

1

1 1

,2

1

1

1

1

2л 111

Чг (2, !)

2л

П

~/

2л

n j F (2, t) j ’

или

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1П —

ОГ

2л ш , V (2, /),

2 JX

Г МР

2я Ш \F(z,

Поскольку

A

In

' мр j

2лб(Л4,

Р)

и 2 ^ 1пгГ(Го1—

гаРм°пическая

в

области

D функция,

то для

М е

D и Р е

D

Л W

ln

1^ ( 2, о )

Р).

(35)

Поскольку

при отображении

а» = ¥

(г, t)

граница

области

D, т. е. кривая S, переходит

в

границу

круга

|а » |^ 1 ,

то ! W (z, t) |s = 1

и, следовательно,

Ь я

1п,^(2, 01 Ь = 0 ‘

Это

равенство

вместе

с

формулой

(35)

и означает,

что функция

Грина

задачи

(31)—(32)

определяется фор­

мулой

(33).

Непрерывность

функции -J- In ру

щ всюду

в замкнутой

области

D,

кроме

точки

М = Р,

есть след­

венства

(г,

£)Ф 0 при г ф -t.

П р и м е р

5. Построить функцию Грина

первой краевой задачи

для уравнения

Аи = ЦМ)

в полосе

—с о < л :< о о , 0 < ( / < я плоскости

(х , у).

Функция

рZ-—(А

и)= а_ 4 -= = чг(2, о

- <л

осуществляет конформное отображение этой

полосы на круг [ w | < I

и точку

г = t переводит в центр круга ш =

0.

Поскольку

j ег — еО = d x + ^ 2 V2

{ch (x -

g) - cos (у -

ц)}

| _ ct l^e^+D/2 ,/2‘ {ch {x _

?) _ cos

+

T])} i/2)

то функция Грина имеет вид

G(M, Р)=-2я1„

1

= 1 ,n ch(x - g) - cos(j/ + 'Q)

| W (г, 0 |

4я

ch (а: -

I) -

cos (г/ - if)'

Тх \к ^х)У')-Я{х)У = !{х),

O ^ x ^ l ,

(36)

«!«/' (0) -

(0) -

0,

а2у' (/) +

(/) = 0,

(37)

где k (х) >

0, q(x)A?0,

alt

а2,

Р1( р2>=0

и cq + P j^O ,

а* + Pi! Ф 0.

Сначала сформулируем

краевой

О п р е д е л е н и е .

Функцией

Грина G (х, s)

задачи

L

[у] =

а х [ ,г (х ) у 1

- я (х ) у =

~ [ ( х ) *),

« !*/' (0) -

Pi# (0) =

О,

а 2у' (/) +

Р2у (/) =

о

называется

решение краевой

задачи

L[y] =

— б ( х — s),

«1у' (0) -

PiУ (0) =

О,

а.2у' (/) +

р2у (/) =

0, .

непрерывное на отрезке [0, /].

функции Грина G (х, s).

Докажем некоторые свойства

G (х,

s) = G (s, х).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим

формулу Грина для

одномерного случая (гл.

VI,

§ 1)

к функциям v = Gx=

= G(x, Sx) и u = G2 = G ( х , s 2) .

Получим

i

-5 {G (х>h) б (х - s L) - G (х,

Sx) S (х — s.2)\ dx =

о

dGA i

(38)

дх ) о

По свойству 6-функции интеграл в левой части ра­

венства (38) равен G(sI(

s3) — G(s2,

Sx), в то время как

Gi и G2 или

и

на концах промежутка (при х = 0

и х = 1). Для

третьей

краевой задачи выражаем значения

производных

<?£?!

и

д02

на концах промежутка через

~

-

J«2 g ( / ,

S l ) G ( Z ,

s 2 ) + £U.2G ( / ,

s 2 ) G ( / , S i ) +

+

^G (0, Sl)G(0,

s2) - | g (0, s 2) G (0, Sl)= 0 .

Таким образом, действительно

G (s2, s1) = G(s1, s2).

2) Частная производная функции Грина Gx (х, s) имеет

разрыв первого рода при x = s со скачком,

равным — 1/k(s),

т.

е.

Gx (s + 0, s) — Gx (s —0, s) = ■— I Ik (s).

(39)

Для доказательства этого

проинтегрируем

тождество

L [G] =

— б (х — s)

по переменной

х

от s - e

до s + e, где е > 0 .

Получим

s+ е

s

8

jj

L[G]dx=

jj

\§x [k{x)Gx {x, s)]-q(x)G(x, s)}dx=~ 1,

S —

E

S — £

или

k (x) Gx (x,

s+ e

у ( a") G ( a , s )

dx = —1.

s)jslte — ^

S —

£

Переходя в этом равенстве к пределу при е —у 0,

получим

Gx (s + 0, s) — Gx (s —0, s) =

,

s + g

{ '

поскольку

lim

\

q(x)G (x, s) dx = 0.

e ^ 0

o ip

Т е о р е м а

3.

Существует единственная

функция

Грина.

Предварительно докажем две леммы.

уравнения

Л е м м а

1.

Существует

решение ух(х)

L [у] = 0, удовлетворяющее

краевому условию

аху' (0) —

чальными

значениями у(0) и

у ' (0), которые

связаны

соотношением аху' (0) — $ху (0) =

0. Лемма доказана.

Л е м м а

2. Всякие два решения ух{х) и ух{х)

уравне­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Функции ух{х)

и ух(х) являются

решениями линейного уравнения второго

порядка L\y] =

= 0 и удовлетворяют условиям

® 1 у[(0) -

M l (0) = о,

(40)

®1y'l (0) -

Р1У1 (0) = 0.

w (0) = у Л’ 0)

У1 (0) = 0.

у[ф)

Уг{0)

тождественно

равен

нулю,

либо

нигде

не

обращается

в нуль. Так

как в

нашем

случае

до(0) =

0,

то определи­

нулю.

Отсюда *)

следует линейная зависимость решений

ух(х)

и ух(х), т.

е.

ух(х) = Сух(х).

*)

См. С т е п а н о в

В. В., Курс дифференциальных уравнений,

изд. 8-е, Фйзматгиз,

1959.

«!«/' (0) - Р1У (0) = 0, а2у' (/) + р2г/ (/) =

0.

*

Пусть ух (.х) — решение уравнения L [г/] = 0,

удовлетво­

G(x, s) =

СхУх (х),

(41)

С2у2(.г),

S^s.

Из свойства

непрерывности функции

Грина при x = s

находим

СхУх (s) — С2у2 (s),

откуда

Сх

_ С2 _q

^2 («)

t/l(S)

Следовательно,

Сх = Су2 (s), С2 = Сух{s).

Коэффициент С

с [Ух (s) у2(s) - у2(s) у[ (s)] = — l/k(s).

(42)