Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 187
Скачиваний: 0
Произведя в последнем интеграле замену переменной интегрирования
по формуле х — £ = г, получим
x+at
v(x’ t)= 2a ) ^( z)dz- |
(2) |
x—at
Заметим, что в формуле (1), а следовательно и в формуле (2), функ ция ф(х) может быть любой интегрируемой (и даже лйбой обобщен ной!) функцией.
Если R (х, t) есть решение задачи Коши
a2Rxx = Rtt> |
R(x, |
0) = 0, Rf (x, 0) = cp(x), |
|
то функция w(х, = R (х, t) |
есть решение задачи |
Коши |
|
a2wxx = wtt, |
w(x, |
0) = <p(x), wt (x, 0) = |
0. |
Действительно, дифференцируя тождество
a2Rxx = Rtt
по t, получим a2 (Rt)xx = (R/h, т. е.
a?wxx = wtt.
Далее,
w(x, 0) = Re(x, 0) = ф(х),
Wt(x, 0) = Rt t (x, 0) = Gtt (x, 0) * ф (x) = 0 * ф (x) = 0.
Если функция ф (г) непрерывна, то w (х , t) можно записать в виде
( |
x+at |
-v |
ф (х —at) -f- ф (х -f-at) |
~ |
|
Ф (г) dzj.: |
|
|
2 |
||
|
|
J |
|
т. е. |
x—at |
|
w(x, f) = ф (х — at) + ф (х + at)
Решением произвольной задачи Коши
a 4 xx = utt, и(х, 0) = ф (х), щ (х, 0) = ф(х),
где ф (а:)—непрерывная функция, а ф(х) —интегрируемая (в частности, кусочно-непрерывная), будет сумма
u = v-{-w = G (х, |
t) * ф (х) + |
G/ (х, |
t)*cp(x), |
|
|
или |
|
|
x-j-at |
|
|
|
Ф (х — at) + |
ф (х -|- at) |
|
||
и (х, t) - |
1 |
|
|
||
|
|
+ 2а |
jj ф (z) dz. |
(3) |
|
х —at
Таким образом, решение в этом случае также записывается по формуле Даламбера. При этом производные от него трактуются как производные обобщенных функций, совпадающие с обычными произ водными там, где эти последние существуют.
Заметим, что формула (3) дает решение задачи Коши и для про извольных обобщенных начальных функций ф (х) и ф (х).
Г л а в а VIII
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Существуют разнообразные методы доказательства единственности решения краевых задач. Обычно поль зуются разными методами доказательства единственности для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов. В настоящей главе приводятся доказательства, основанные (для всех трех типов урав нений) на первой формуле Грина:
$ ФгЬ [Ф2] dx =
D
|
= - \ k (УФХ, V02) dx - |
jj </ФхФ2 dx + ^ £ФХ |
do. |
||||||
|
D |
|
|
|
D |
|
S |
|
|
|
§ 1. Единственность решения краевых задач |
||||||||
|
для |
уравнений гиперболического типа |
|
||||||
|
1. Рассматриваются |
краевые |
задачи вида |
|
|||||
|
|
div (k Vw) — qu -f / (M, |
t) = puH, |
|
(1) |
||||
|
|
(y i| “ + Y2«)s = P(M, t), |
|
(2) |
|||||
|
u(M, 0) = cp(M), |
ut {M, |
0) = cp1(M) |
(3) |
|||||
для |
области |
В = {М ё |
О; |
t^O], |
где D —конечная об |
||||
ласть, ограниченная поверхностью S. |
|
|
|||||||
|
Функции |
k(M), |
q(M) и р (М) |
непрерывны в области |
|||||
D, k (М) имеет непрерывные в D |
частные производные |
||||||||
первого порядка по координатам точки М, |
и |
|
|||||||
|
k = k ( M) > 0, |
<7(Л*)Зь 0, |
|
р(Л 1)>0 |
в |
D; |
|||
|
Y i (М) S s 0 , |
у2 (М) 5 ? О , |
Y i + Y-I Ф О |
|
|
||||
для |
всякой точки М e S . |
|
|
|
|
|
|||
182
Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и . Решение краевой за дачи (1) —(3), непрерывное в замкнутой области В вместе
счастными производными первого порядка по переменной t
ипо координатам точки М, единственно.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть их(М, t) и и2(М, t) —два решения, удовлетворяющие условиям теоремы. Покажем,
что |
их(М, |
i) = |
u2(M, |
t) в области В. |
|
|
|
||||
Для доказательства воспользуемся первой формулой |
|||||||||||
Грина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Ф.гЬ [OJrfx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
(VOl |
V02) dx — |
jj |
|
dx + |
^ кФ2^ |
da |
||
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
|
S |
|
ДЛЯ |
функций Фх = 0 = UX— U2 и Ф2 = 0[. |
|
|
|
|||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
^vtL[v\dx = — $£(Yy, Svt)dx— |
§ qvvt dx-\- ^ kvt -dn do. |
||||||||||
D |
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
S |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция v = ux — u2, очевидно, |
является решением задачи |
||||||||||
|
|
|
|
|
L [v] = pvu, |
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
( V i| + |
Y^)s = 0, |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
v(M, 0) = 0, |
vt (M, |
0) = |
0. |
|
(7) |
||
Так |
как L[v] = pvtt, то из формулы (4) |
получим |
|
||||||||
? pvtvtt dx = — Цk (Vy, Yt;*) dx — |
qvvt dx + |
kvt * |
da, |
||||||||
D |
|
|
|
Ъ |
|
|
D |
|
S |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ P w |
^ dx== |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
\ k |
(Vv)2 dx - |
§ q | |
(u2) dx + 2 jj kv, |
da. |
(8) |
|||||
|
|
D |
|
|
Ъ |
|
|
S |
|
|
|
Так |
как |
для |
первой |
краевой |
задачи |
t»( |s = 0, а |
для |
||||
183
второй краевой задачи |
да |
О, |
то для |
первой и второй |
||||
|
|
|
дп |
|
|
|
|
|
краевых задач формула (8) имеет вид |
|
|
||||||
\ p § t W ) dx = - |
[ k ^ i V v f d x - |
\ qd{ F dx. |
(9) |
|||||
D |
|
D |
|
|
|
D |
|
|
Для третьей |
краевой задачи |
да |
— V s , поэтому из |
|||||
формулы (8) |
получим |
|
дп |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
§Р ~ ( v sddx = |
|
|
|
|
|
|
||
- [ k ^ d x - l q ^ - d X - l Ъl |
-kZH-do. |
(10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Интегрируя |
тождества |
(9) и (10) по переменной t на |
||||||
промежутке |
[0, Т] и пользуясь тождествами v{M, |
0) = 0, |
||||||
Vo \f_0= |
0, vt (M, 0) = 0, получим соответственно |
|
||||||
\ро?(М, |
T)dx = — \k(Vv)2\t_Td x ~ \ q v 2(M, Т) dx |
(11) |
||||||
D |
|
D |
|
|
|
D |
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ро? (М , T)dx= - |
\ |
k |
(Vo)2 \t_Tdx - |
|
|||
|
D |
|
|
|
D |
|
|
|
|
- |
^ qv2(M , |
T) d x - |
jj |
^ о2 (M, T) da. |
(12) |
||
|
|
b |
|
|
s |
|
|
|
Так как левые части в формулах (11) и (12) неотрица тельны, а правые положительны, то каждый интеграл равен нулю. Следовательно, в случае первой и второй краевых задач для произвольного значения Г > 0 и лю
бой ТОЧКИ |
М |
|
D |
|
|
|
|
|
pvHM, |
Г) = 0, Vy |f-7- = 0, |
qv2(M, Т) = 0. |
(13) |
|||
Если |
q ^ |
0, |
то |
отсюда следует, |
что v(M, |
/) == 0. |
Если |
<7 = 0, |
то |
v(M, |
t) = const. В силу |
свойства |
непрерывно |
||
сти функции v(M, t), пользуясь начальными условиями
(7), |
получаем |
v(M, |
t) = 0. В случае третьей |
краевой |
задачи кроме равенств (13) получим также v(M, |
T)\s — 0. |
|||
Следовательно, |
как |
и в рассмотренном случае, |
получим |
|
v(M, |
0 = 0. Теорема доказана. |
|
||
184
2. З а м е ч а н и е . Часто единственность решения крае вых задач для уравнений гиперболического типа доказы вают, пользуясь интегралом энергии колебаний, отвечаю щих соответствующей однородной задаче. Именно, рас сматривают функцию времени
£ ( 0 = т , jj {k(^v)2+ qv2 + pv-t} dx,
D
где v = ux — u2. Непосредственным вычислением, с исполь зованием уравнения для v и формулы Остроградского,
доказывают, что £ ' |
(t) == 0. Отсюда |
следует, |
что Е (t) = |
== const = £ (0). Так |
как £ (0) = 0, |
то £ (0 |
= 0, откуда |
и следует, что v = u1 — u2 = 0. |
|
|
|
§ 2. О единственности решения задачи Коши |
|||
для волнового уравнения |
|
||
Мы отмечали в § 5 |
гл. III, что если существует решение |
||
задачи Коши для одномерного однородного волнового урав нения а2ихх = ии, непрерывное вместе с частной производ ной первого порядка щ в замкнутой области Вх= {— оо <
< х < о о , |
12s 0}, то оно представляется формулой Далам- |
|
бера. Аналогично, в § 11 гл. III было показано, что если |
||
существует решение задачи Коши |
для трехмерного (дву |
|
мерного) |
однородного волнового |
уравнения а2 Дм = ии, |
непрерывное вместе с частной производной первого по рядка М/ в замкнутой области В3 = {М, t^ 0 } (М — любая точка трехмерного (двумерного) пространства), то оно представляется формулой Пуассона (или ее двумерным аналогом). Из этих фактов непосредственно следуют тео
ремы единственности. |
задачи |
Коши для одномерного |
|
Т е о р е м а 1. |
Решение |
||
волнового уравнения |
|
|
|
|
о^ихх“Т f (х , £) — иХ1, |
||
и(х, |
0) = <р(дг), |
щ{х, |
0) = $ (*), |
непрерывное вместе с частной производной первого порядка щ в замкнутой области Вх== {— со < х < оо, t >= 0}, един ственно.
В самом деле, пусть их(х, t) и и2(х, |
решения |
задачи, удовлетворяющие условиям теоремы. |
Тогда их |
185