Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

разность v (х, t) = их (х, t) — и2 (х, t) является решением

V (х, 0 ) = О, vt (х, 0 ) = 0 ,

непрерывным вместе с частной производной vt в замкну­ той области б 1. Согласно § 5 гл. III функция v (х, t)

выражается формулой Даламбера, которая дает, очевидно, v(x, 0) = 0.

Т е о р е м а 2. Решение задачи Коши для трехмерного (двумерного) волнового уравнения

a2Au + f(M, t) — Uft,

и (М, 0) = ф(М), щ(М, 0) = ф (М),

непрерывное вместе с частной_ производной первого порядка Щ в замкнутой области В3== [М, t 0} (М —любая

точка трехмерного (двумерного) пространства), един­ ственно.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 1, только вместо формулы Далам­ бера надо пользоваться формулой Пуассона.

§ 3. Единственность решения краевых задач для уравнений параболического типа

вместе с частными производными первого порядка по коор­ динатам точки М и частной производной первого порядка по переменной t, единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть «ДМ, t) и и.г (М, t) —два решения, удовлетворяющие условиям теоремы, и v = ul — и2. Покажем, что v(M, / ) s 0 в области В. Для этого при­

186

меним первую формулу Грина для функций Фх = v и Ф3 = v. Получим

Для третьей краевой задачи из формулы (21), используя

Интегрируя тождества (23) и (24) по переменной t на промежутке [0, Т] и пользуясь тождеством v(M, 0) = 0, получим соответственно

187

Так как правые части в формулах (25) и (26) неположи­ тельны, а левые части неотрицательны, то

замкнутой области В существенно, так как при невыпол­ нении его единственности нет. Действительно, если мы прибавим к решению, например, первой краевой задачи функцию й(М, t), тождественно равную С (С = const) внутри области В и равную нулю на ее границе, то полу­ чим решение той же краевой задачи при любом значе­ нии С. Конечно, это замечание относится и к краевым задачам для уравнений гиперболического типа.

В ряде случаев теорему единственности решения крае­ вой задачи для уравнений параболического типа можно доказать в более слабых предположениях. Это можно сделать, пользуясь, например, принципом максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности. Ему посвящен следующий параграф.

§ 4. Принцип максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности

1. Пусть D —произвольная конечная область, огра­ ниченная поверхностью о, и У— произвольное фиксиро­

ванное положительное число.

Это цилиндр с основа­ нием D и образующими, параллельными оси t. Когда D —двумерная (плоская) об­ ласть, Вт изображена на рис. 20.

Для одномерной^ области

188

нения (27). Еслиu(M,t)== const,теорема очевидна. Поэтому

Таким образом, для любой точки (М, t ) ^ T v(M, t)=sc s^uB, в to время как о (АД, t i ) ^ u B.

Итак, точка (ЛД, Д) принадлежит открытой области Вт и поэтому в ней функция и(М, t) должна удовлетворять уравнению (27). Однако поскольку

div (k Чи)\м=м1—div (k Vo)|m= m1=

189