Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл (13,34Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 194

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть иг (М) и и2(М) —два						ре
шения задачи и v (М) = их (М) — и2 (М).
Из некоторой точки М0, лежащей внутри поверхно
сти S, как	из центра опишем сферу Sp					настолько боль
		шого радиуса R, чтобы Sp целиком
		лежала в области Dx. Пусть Dp —об
		ласть,		ограниченная поверхностями
		5 и SR (рис.			21).
		на	Применим первую формулу Гри
		на	для	функций		Фх (М) = v (М) и
		Ф2 (М) — v(M) в области Dp. Полу
		чим (при q (М) = 0)
		^ v div (k Vy) dx = — jj &(Yu)2dr +
		° R				D p
				kv f- da		^ kv	dn	do.	(37)
				SR	dn	s	dn
				SR		s
Функция v{M)		является решением задачи
		div (k Vo) = 0			(в Dx),				(38)
		( n £ + w ) s = 0.							(39)
Поэтому из	(37)	получаем
^ k (Vy)2 dx—			kv j^da — ^ k v ^ d a — 0.
D r		S			Sp

Для первой и второй краевых задач интеграл по S равен нулю, поэтому

^	k(Vv)2dx — ^ k v ^ d a .	(40)
d r	s r

Для третьей краевой задачи, пользуясь краевыми уело-

dv 1

виями (39), выражаем -^1 через у|$. Получим

^	k (4v)2d%-{- ^ k ~ 2 v2 da=	kv-^da.	(41)
D p	S	Sp

Формулы (40) и (41) справедливы для любых доста точно больших значений R. Поэтому в них можно перейти к пределу при R-+oо. Оценим интеграл по Sp. В силу

196

регулярности функции v и ограниченности k (М) (k (М) ==g N) имеем

	5	^v Ш ^°			\N\AB\		da	N \ A B	4 it
							L ' и ,
	Sr					SR
Переходя		в	формулах (40) и (41) к пределу при /?->оо
и учитывая			оценку для интеграла по SR, получим
					§ k (Vo)2 dx = 0,					(42)
					Di
				^ k (Vo)2 dx-f ^			o2 da = 0.			(43)
				£>i		s
Из (42)	следует, что о =					const. А так		как о(Л4)-^0 при
Л4 ->со, то о(М) = 0 в Dj. Из (43) следует,									что o(M)s=
== const	в	Dj		и	о \|s = 0.	Из	непрерывности		о (Л4)	в Dx
следует,	что		о (Л4) = 0 в £)х. Теорема					доказана.
4.	Заметим,				что решение второй краевой задачи также
единственно,				поскольку		в этом случае фиксируется				зна
чение решения на бесконечности (равное нулю).
Свойство			регулярности решения на					бесконечности по
надобилось нам для оценки интеграла по вспомогательной
поверхности			SR.		Для двумерного случая требование ре
З а м е ч а н и е .
гулярности решения на бесконечности слишком сильно,
так как решения, удовлетворяющего								ему, может и не
существовать.				В	двумерных задачах достаточно потребо
вать, чтобы искомое решение было ограниченным на бес
конечности, а частные производные первого порядка рав
номерно стремились к нулю,							как В/гмм

Г л а в а IX

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этой главе мы изложим некоторые начальные све дения о линейных интегральных уравнениях второго рода. Для простоты записи мы всюду, кроме § 1, будем рас сматривать одномерный случай. Все результаты верны и для многомерного.

§1. Классификация линейных интегральных уравнений

Уравнения вида

Ф ( М ) - Ц / С ( М , Р)у(Р)йтР = ЦМ),

где ср (Р) — искомая функция, f{M) и К (М , Р) —известные функции, D — фиксированная область, X —числовой пара метр, называются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. Если / (М) = 0, уравнение называется одно родным, в противном случае — неоднородным.

Уравнения вида

Ф{ М ) - Х \ К(М, P)q>(P)dxP = f(M),

D (М )

где D (М) — переменная область, зависящая от точки М,

называются интегральными уравнениями Вольтерра вто рого рода. Например, в одномерном случае

а:

Ф(х) — Х^К (х, s) ф (s) ds = f (х)

есть уравнение Вольтерра второго рода.

Если f(M) = 0, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

198

Уравнения вида

^ К(М, P)q>(P)dxP = f(M),

где D — фиксированная область, называются интеграль ными уравнениями Фредгольма первого рода.

Уравнения вида

^К(М, P)y{P)dxP = f{M)

D (М)

называются интегральными уравнениями Вольтерра пер вого рода. Функция К(М, Р) называется ядром интеграль ного уравнения.

З а м е ч а н и е . Уравнения Вольтерра являются частным видом уравнений Фредгольма. Так, если в одномерном случае положить

О,	x C s C b ,
Кх (х, s) =	a < s ^ x ,
К (х, s),	a < s ^ x ,

то уравнение Вольтерра

ц>(х) — Х^К (х, s) Ср (s) ds = f (х)

можно записать как уравнение Фредгольма с ядром К\{х, s):

ф {х) — XJ Кх (х, s) ф (s) ds—f (х).

Ядра Кх{х, s) указанного вида иногда называют ядрами Вольтерра.

§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами

Ядро К(х, s) называется вырожденным, если оно имеет вид

К(х, s)= 2 Ф (x)bi(s),	(1)
i= 1

где at (х) — линейно независимые функции.

Решение уравнения Фредгольма второго рода с вырож денным ядром сводится к решению системы линейных

алгебраических	уравнений.	В самом деле,	подставляя в
уравнение	ь
ф (х) = X \ К (х,		s) ф (s) ds + f (x)	(2)

199

ядро (1), получим
ф (X) = я X с ‘а‘ () + /()»	(3)

i= 1

где С,- = ^ bi (s) cp (s) ofs— неизвестные числа.

Таким образом, решение уравнения (2) с вырожденным ядром надо искать в виде (3). Подставляя эту функцию в уравнение (2 ) и сравнивая коэффициенты при одних и тех же функциях а, (х) справа и слева, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С,-:

Ct — X	П	(i — 1,2 , ..., n),
Ct — X	Cj<Xij + Рг	(i — 1,2 , ..., n),	(4)
a ij = $ «< (5) bj (s) ds,		Рг = $ / (s) bi (s) ds.
a		a

Решив эту систему, мы найдем Ch а следовательно, и решение уравнения (2 ) ф (х).

§ 3. Существование решений

1 . Если ядро вырожденное, то вопрос о существован решения интегрального уравнения Фредгольма сводится к вопросу о существовании решения соответствующей системы алгебраических уравнений (4). В более общем случае мы докажем существование решения уравнения (2)

(при достаточно малых значениях \|Я\|)		м е т о д о м	п о с л е
д о в а т е л ь н ы х п р и б л и ж е н и й .				ядро
Для простоты выкладок будем предполагать, что: 1)
К (х, s) непрерывно	в квадрате а ^ х , s ^ b;		тогда	оно
ограничено некоторой константой А,		2) функция
f(x) непрерывна на	отрезке [а, Ь],	следовательно,		она