Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Отрезки [а, b]

изменения переменных х и s разбивают

на п одинаковых

частей точками деления xit s,-. Интеграл

ь

Получают соотношение

П

ф (х)

А 2 к

(х,

Sj) ф7Asj + f(x).

/'= i

Полагая здесь х равным Xi

(/ =1, 2,

..., п),

рассмотрим

систему уравнений

П

Ф; = k

^ ‘7Ф; As/ + A-

(/=

1, 2, ...,

п),

(12)

/=)

где

S/),

fi f(Xi), ASy = Sy-+1

ф; = ф(хг), Kij~K(,Xit

S j .

ь

Ф (х) — А $ К (х, s) ф (s) ds — f (х).

(13)

а

1. Однородное уравнение

ь

Ф (х) = А ^ К (х, s) ф (s)ds

(14)

*) К а н т о р о в и ч Л. В.

и

К р ы л о в В. И.,

Приближенные

методы высшего анализа, изд.

5-е,

гл. II, Физматгиз,

1962.

виальное решение ср (х) = 0. Однако при

некоторых зна­

чениях X оно может иметь и нетривиальные решения.

О п р е д е л е н и е . Значения параметра X,

при которых

уравнение (14) имеет нетривиальные решения

(т. е. не рав­

ные тождественно

нулю),

называются собственными зна­

чениями (с. з.)

уравнения (14)

(ядра К (х, s)), а соответ­

ствующие

им

решения

ср (х) — собственными

функциями

(с. ф.) уравнения (ядра).

Справедлива следующая

X не равно соб­

Т е о р е м а

1.

Если в

уравнении (13)

ственному

значению соответствующего однородного урав­

нения (14), то уравнение (13)

может иметь лишь един­

ственное решение.

Пусть

срДх)

и

ф2 (х) — два

ре­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

шения

уравнения (13). Тогда справедливы тождества

Фх (*) — X ^ К (х,

s) срг (s) ds =

/

(х),

а

b

ср2‘ (х) — X \ к (х,

s) ф2 (s) ds =

f (х),

откуда

а

ь

(ф1 -

фо) - X 5 К (X,

s) (фх - ф2) ds =

0 .

а

Следовательно,

разность

ф (х) = фх (х) — ф2 (х)

является ре­

шением однородного уравнения.

Поскольку X не является

собственным значением,

то ф (х) = ф* (х) — ф2 (х) == 0.

Тео­

рема доказана.

дальнейшего

напомним

некоторые

теоремы

2.

Для

о системах линейных алгебраических уравнений.

Т е о р е м а

А.

Для того чтобы однородная система

уравнений

Y i aijXJ = 0

(/=1,2, ....

п)

(15)

/ = i

П

Y , a ijxj = bi (i= 1 , 2 , .... п)

(16)

фт ^

Дftntyj A*Sy ~ fт

{Щ=:1 , 2 , • • • , П) (17)

опишем способ получения теорем Фредгольма.

ядра

Пусть

Я

не

является

собственным

значением

К (х, s).

Тогда

однородное

уравнение

(14) имеет

лишь

тривиальное

решение. Поэтому, имея

в виду теорему А

т

фт -

А, 2

Яутфу kSj = 0

(т = 1 , 2 , . . . , л),

/■= 1

имеет не равный нулю определитель. Следовательно,

система уравнений

П

4>т -

"X 2

^'«Ф/ A sJ = f m

( т = 1,2,..., л),

1= 1

которой заменяется неоднородное интегральное уравне­

ние (13),

имеет

единственное

решение. Соответствующая

этому решению полигональная функция <р„(л:) при п-*-оо,

по теореме

3,

равномерно стремится к решению уравне­

ния (13). Таким образом, справедлива

1-

я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а . Для всякого X, нерав­

ного собственному значению, уравнение (13) имеет реше­

ние, и оно единственное.

З а м е ч а н и е . Поскольку

определители системы (17)

и транспонированной системы

П

Фт

X

ДтуФу Asj = fm

ipl = 1>2 , . . . , Л)

/ = 1

совпадают,

то для всякого X, не равного с. з. ядра К (х, s),

2-

я т е о р е м а

Ф р е д г о л ь м а . Если X является соб­

ственным значением ядра К (х, s), то как однородное инте­

гральное

уравнение

(14), так и сопряженное ему уравне­

ние имеют конечное

число линейно независимых решений.

Эта теорема следует

из того, что однородная система

независимых решений.

Пусть X является соб­

3-

я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а .

ственным значением ядра К(х, s). Тогда,

для того чтобы