Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Д о к а з а т е л ь с т в о . Преобразуем формулы для полу­ чения функций фя(лг). Подставляя функцию фх (х) в фор­ мулу ДЛЯ ф2 (х), получим

ь

ф2 (х) =f(x) + $ К (х, s) f (s) ds +

a

Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования,

фп (X) = f { x ) + X <\jKi (X, s) f (s) ds + №5 Ki (х, s) f(s)ds + ...

201

где Кп(х, t) = J Кг(х, s) K*-i(s, t) ds. Предел функции ц>п(х),

ь

если он существует, равен сумме ряда

ь

а

и функции

Функции Кп (х, s) называются итерированными ядрами.

Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого оценим интегралы

ь

5 Кп (х, s) f(s) ds.

а

Очевидно,

ь

I Кг (X, t) I ^ $1^ 1 (*• s) ^ 1 (s>О I ds sC л 2 (b — а),

а

Ъ

I Кз (х, t) I < J ! Ki (х, s) К2 (s, t)\ds < A3 (b - а)2,

а

поэтому

202

равномерно сходится к функции ф (*) *). Эта функция явля­ ется решением уравнения (2). В самом деле, переходя в формуле (7) к пределу при п-> оо, получим

_ ь

Ф(*) s А, $ /С (х, s) ф (s) ds + f(x).

а

Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен, так как последовательность сходится равномерно.

Заметим, что предел lim (p„ (х) = Ф (х) не зависит от

п —►ОО

выбора функции <p0 (s) (нулевого приближения). Из этого легко следует единственность решения уравнения (2 ). В самом деле, если существует еще одно решение ф ( х ) уравнения (2 ), то, полагая в процедуре построения функ­ ций (5)—(7) ф0(х)=ф(х), получим

a

:) Так как ф = 0.

203

0°

где функция R(x, s, X) — ХплКп(.х> s) называется резоль-

П—I

вентой уравнения (2 ).

Таким образом, если нам известна резольвента уравне­ ния (2 ), то по формуле (10) мы получим его решение. Мы определили резольвенту лишь для малых значений |Я|. Однако ее можно определить на любой конечной области комплексной плоскости переменной X путем аналитического продолжения (кроме, может быть, конечного числа особых точек этой области). Если это сделано, то по формуле (10) мы получим решение уравнения (2 ) для любых значений X,

жения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники, ч. I, гл. I, Гостехиздат, 1949.

204

n = l

на отрезке [a, b] и его частичные суммы являются мажо­ рантными для функций ф„ (х), то последовательность {ф„ (*)}

также сходится равномерно; ср (х) = Нш <р„ (х), очевидно,

П-*оо является решением уравнения (1 1), и притом единственным.

§ 4. Понятие о приближенных методах решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Описанный в § 3 метод последовательных приближений построения решения может служить приближенным мето­ дом решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В качестве приближенного решения надо брать функции ф„(лг), определяемые формулами (5)—(7).

Второй метод нахождения приближенного решения интегральных уравнений состоит в том, что ядро уравне­ ния К (х, s) аппроксимируют с надлежащей точностью вырожденным ядром

К{х, s)= 2 м * ) Ms). (•= 1

Решение уравнения с ядром К (х, s) и будет приближен­ ным решением исходного уравнения *).

Третий метод, его называют ме т о д о м сеток, состо­ ит в следующем.

205