Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 201
Скачиваний: 0
Если Мпе D, то нам достаточно доказать равномер ную сходимость в окрестности точки М0 интегралов от производных в правых частях формул (7). Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причем для
производных |
щ и ^ справедливы формулы (7)*). Для |
||||
определенности |
рассмотрим интеграл |
|
|||
|
.1 |
г‘м р |
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
(? ■х) dXp |
|
Г (?-*) |
|
Л |
|
dxp |
|
р (Р) rftf |
|
|
:А |
||
гмр |
|
'м. |
ГМ Р Г 'М Р |
Г М Р |
|
'М „ |
|
|
'м„ |
||
так как \Ъ—х |
cos \г, п |
S |
1. Далее, |
|
|
' М Р |
|
26 |
|
Я 2п |
|
A f - ^ < Л |
|
|
|
||
С- А = л(* |
|
f Гsin 6 dr dQdcp = 8 яЛб. |
|||
J |
r~MP |
i |
i |
i |
|
' M 0 |
J M |
|
|
|
|
Чтобы выполнялось неравенство
J
'м„
г- з |
< е , |
М Р |
|
достаточно взять |
б < е / ( 8 яЛ). |
|
|
|||||
С в о й с т в о |
3. |
Объемный потенциал является гармо |
||||||
нической функцией вне области D, в которой расположены |
||||||||
заряды {массы). |
|
|
|
из того, |
что для |
точек М qLD |
||
Это свойство следует |
||||||||
интеграл |
(2 ) не является |
несобственным, и поэтому опе |
||||||
ратор Лапласа можно вносить под знак интеграла: |
||||||||
Аи = Д / С ^ |
dxp) = |
С р(Р) Д ( - Ц dnP== О, |
||||||
|
\ J р М Р |
/ |
|
J |
\ ЛМ Р / |
|
||
|
V ) |
|
|
' |
|
D |
|
|
так как |
для точек |
М ф Б |
имеем A (l/rjMp) = |
0 . |
||||
Если |
предполагать, |
что р (Р) |
непрерывна |
в D и имеет |
||||
ограниченные |
и интегрируемые частные производные пер- |
|||
вого порядка |
др др |
др |
то справедливо |
|
щ, |
щ, |
|||
*) См. |
Ф и х т е н г о л ь ц |
Г. М., Основы математического ана |
||
лиза, т. II, |
гл. |
XVIII, |
изд. 5-е, «Наука», 1968. |
|
216
С в о й с т в о 4. В точках области D объемный потен циал удовлетворяет соотношению
|
А« = —4яр(Л4). |
(8) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вычисление вторых |
произвол- |
|
ных |
д^и д^и путем дифференцирования правых частей |
|
формул (7) под знаком интеграла здесь неприменимо, так как мы получим при этом расходящиеся интегралы, на пример:
_ f J - A , + f > f c 2 £ n A ,.
r M P |
J |
' М Р |
Для доказательства существования вторых произ |
||
водных поступим следующим |
образом. Пусть М0 <= D; |
|
Тм„ —шаровая область радиуса б с центром в точке М0, ограниченная сферической поверхностью S8Ma, причем Tm0c^D. Тогда для точек М области Тм0 можно написать
и (М) = «х (М) + и2 (М),
где
«i(M )= f |
~ - d x P, и2 (М) — |
f |
9-~ -d xP. |
J |
ГМР |
J |
rMP |
Tk |
|
D- Tk |
|
Интеграл u2 (M) не является несобственным и по свой ству 3 представляет гармоническую в точке М0 функцию, т. е. Дм2 \м —ма ~ 0. Следовательно,
Аи \м =м0= Ahj |м= лг0-
Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию щ (М). Производную
ди.! |
\ |
{^ p ( P ) d x P^ |
dxp |
|
дх |
||||
J |
ГМ Р |
|
можно также записать следующим образом:
|
др |
|
|
J L |
|
тО |
TU ГМР |
ти |
1Ма |
мQ |
Мо |
217
Применяя ко второму интегралу формулу Остроград ского, получим
Ф
дх |
i |
dtp— [ |
cos a daP, |
(9) |
1 rMP |
•] |
ГМР |
|
|
|
M0 |
’M0 |
|
|
где а — угол между направлением внешней нормали к по
верхности ев и осью х.
Первый интеграл правой части формулы (9) предста вляет собой объемный потенциал с плотностью зарядов
(масс) Pi(P) = ^ и поэтому, по свойству 2 , имеет непре
рывную производную первого порядка по х. Второй инте грал не является несобственным и поэтому имеет непре рывную производную первого порядка по х во всякой
внутренней точке М области Т'м0. Следовательно, |
имеет |
||
„6 |
дги, „ |
|
|
непрерывную в Тма производную |
При этом |
|
|
д2их |
(Е-*о) Ф |
p ^ - ( l - x 0)cosadaP. |
|
дх2 м=ма |
Ф d r P |
||
' МаР |
г м 0р |
|
|
' Мо |
|
о |
|
Но -—— = cosa, |
поэтому |
|
|
гм 0Р |
|
|
|
щ
дх2 Iм= м0
Аналогично
д2щ ду1 м =М0
д2иг дг2 М =
|
= |
с |
|
р(Р) |
„ |
} |
|
-, |
cos2 а ааР. |
||
г%ор |
|
|
ГМоР |
|
|
тЪ. |
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
(У]- уо)дци |
? |
|
cos2 р dop, |
|
■6 |
|
dxP- |
|
||
ГМоР |
|
J |
ГМ 0Р |
|
|
м0 |
|
|
S Mo |
|
|
\ |
ГМ 0Р |
— |
[ |
ГМ 0Р |
cos2 у doP, |
.б |
|
о |
|
||
|
|
с6 |
|
|
|
М 0 |
|
|
6 А! о |
|
|
(10)
(П)
(12)
где Р и у —углы между нормалью к Sm„ и осям у и г соответственно.
218
Складывая формулы (10), (11) и (12), получим
|
|
|
ф |
|
|
Аи \м=м0= Л«1 |м = м„ = |
\ |
-Д --cos a dxP+ |
|
|
|
|
|
•’ |
гм„р |
|
|
|
|
м„ |
|
|
|
+ \ |
Ф |
|
ар |
|
|
уД -cosP с?Тр+ |
? ^Д-cosyrfTp- |
? |
(13) |
||
*5 |
г м „р |
J |
г м „ я |
.5 |
г м 0р |
j-б |
|
Af„ |
|
|
|
м0 |
|
|
|
|
|
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве свойства 2 , найдем, что каждый из интегралов по обла
сти Тм0 в формуле (13) не превосходит 4лВ8, где В — верх
няя граница функций |
Ф | |
IФ |
1 |
др |
, т. |
е. |
Ф 1 |
1Ф |
Ф |
||||
|
<г6 |
^ 4пВ8. |
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1М0 |
|
|
|
|
|
Применяя к последнему интегралу формулы (13) тео рему о среднем значении, получим
г 2
ГМ 0Р
daP= 4лр (Р*), |
(15) |
>м0
где Р* i= Sm0• Переходя в формуле (13) к пределу при 6 -vO и учитывая неравенства (14) и формулу (15), получим
А«|м = м0= — 4лр (М0).
Вдвумерном случае аналогом формулы (8) будет соотно шение
|
Аи — — 2лр (М). |
|
(16) |
||
З а м е ч а н и е . |
Соотношение (8) можно получить фор |
||||
мально, перенося оператор Лапласа |
под знак интеграла |
||||
в формуле (2) и используя соотношение (25) |
гл. VII, § 2. |
||||
С в о й с т в о |
5. При стремлении |
точки |
наблюдения |
||
к бесконечности |
объемный потенциал стремится к нулю |
||||
(в трехмерном случае; D — ограниченная область). |
|||||
Для доказательства |
этого свойства применим теорему |
||||
о среднем значении к |
интегралу (2). |
Получим |
|||
и(М) |
1 |
р dtp |
т |
|
|
Г М Р * DI |
Г М Р * ' |
|
|||
|
|
|
|
||
219