Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 198
Скачиваний: 0
н а р а с с т о я н и и h. П у с т ь н а п о в е р х н о с т и S р а с п р е д е л е н ы
отрицательные заряды с плотностью h v(P), а на поверх
ности 5, — положительные заряды с той же плотностью
(рис. 23).
Мы будем иметь «двойной слой» зарядов противопо ложных знаков, который можно рассматривать также как совокупность диполей, распределенных по поверхностям S
и S, |
с плотностью ! v(P). Потен- |
||
1 |
h |
v |
' |
циал |
поля, созданного |
диполем, |
|
«опирающимся» на элементы da поверхностей S и St, равен
v (Р) с (——\do. Потенциал поля,
созданного всеми диполями, равен
„
М п
Если мы устремим h к |
нулю, то |
. |
Рис' 23. |
|
получим «двойной слой» на поверх |
|
|
||
ности S, потенциал которого |
вычисляется по формуле (19). |
|||
Поверхность S будем называть несущей поверхностью. |
||||
Поскольку |
1 \ |
cosy |
^ |
|
д I |
|
|||
д п \ |
г м р ) |
ГМ Р |
|
|
где ср — угол между положительным направлением нормали к поверхности S в точке Р и отрезком РМ, то потенциал двойного слоя можно также написать в виде
w(M)= [ v(P )c- ^ d o P. |
(20) |
|
J |
г м P |
|
Если мы обозначим через d(x)MP телесный угол, под кото рым из точки М виден элемент поверхности daP, то
Гмр da)MP = COS ф doP.
Эта формула непосредственно следует из того, что по определению dcоМр есть площадь элемента единичной сфе ры с центром в точке М, высеченного конусом с верши-
*) |
См., например, С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, |
т. II, |
«Наука», 1967. |
8 В. Я. Арсенин |
225 |
ной в точке М, опирающимся на элемент поверхности daP (рис. 24); dmMP имеет положительный знак, если угол (р острый, и отрицательный, если угол ф тупой.
Поэтому потенциал двойного слоя можно также написать в виде
|
|
w(M) = \ |
v(P) dti>M[>. |
(2 1) |
||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
3. |
Из формулы |
(21) |
следуе |
|
|
|
что потенциал двойного слоя опре |
||||
|
|
делен и в точках М несущей по |
||||
|
|
верхности. Таким образом, имеем: |
||||
|
|
С в о й с т в о 1. Потенциал двой |
||||
С в о й с т в о |
2. |
ного слоя определен всюду. |
|
|||
В точках М, |
не лежащих на несущей |
|||||
поверхности S, |
потенциал двойного слоя является гармо |
|||||
нической функцией. |
|
|
формулой |
(20). |
||
Для доказательства воспользуемся |
||||||
Если М <фS, то |
интеграл (20) |
не является |
несобствен |
|||
ным и поэтому |
|
|
|
|
|
|
к |
С в о й с т в о 3. При стремлении точки наблюдения М |
бесконечности потенциал двойного слоя стремится |
|
к |
нулю. Мы предполагаем при этом, что поверхность 5 |
имеет конечную площадь и расположена в конечной области.
Для доказательства воспользуемся формулой (20). При меняя к интегралу теорему о среднем значении, получим
|
|
w (М) = v (Р) COS ф |
р> |
|
|
|
|
|
г \а р |
|
|
где Р* е |
5. Отсюда |
и следует справедливость свойства. |
|||
В |
последующем будем полагать, что несущая |
поверх |
|||
ность |
S |
замкнутая. |
В качестве |
положительного |
направ |
ления нормали возьмем внутреннюю нормаль к поверх ности 5.
Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя — потенциал с постоянной плотностью моментов v0. Для-
226
т а к о г о п о т е н ц и а л а w (М ) с п р а в е д л и в ы ф о р м у л ы |
|
|||
Г4ят0, |
если точка М расположена |
внутри S, |
||
w (М) = | |
2лл'„, |
если точка М расположена |
на |
S, |
[ |
О, |
если точка М расположена |
вне |
5. |
Для доказательства этого воспользуемся формулой (21). Пусть точка М расположена внутри S. Предположим сначала, что всякий луч, проведенный из точки М, пере секает поверхность S лишь в одной точке. Тогда интег
рал |
\ da>MP равен полному телесному |
углу, под которым |
||
|
s |
|
|
|
видна внутренняя сторона поверхности S. Очевидно, этот |
||||
угол |
равен 4л. Следовательно, |
|
||
в этом случае w (М) = 4п\{). |
|
|
||
Если часть лучей (или все), |
|
|||
проведенных из точки М, пересе |
|
|||
кает поверхность S в конечном |
|
|||
числе (<S&) точек, то телесные |
|
|||
углы d(DMP, под которыми видны |
|
|||
элементы поверхности doP, пересе |
|
|||
каемые лучами изнутри S (напри |
|
|||
мер, |
doP, |
лежащие на |
и S3, |
|
рис. |
25), |
будут положительными, |
|
|
а телесные углы da>MP, под |
кото |
|
||
рыми видны элементы поверхности |
|
|||
doP, пересекаемые лучами извне 5 |
|
|||
(например, doP, лежащие на S2, |
как в этом случае |
|||
рис. |
25), будут отрицательными, так |
|||
угол ф между внутренней нормалью |
и направлением от |
|||
резка РМ будет тупым и, следовательно, cos ф —отрица тельным. В силу этого, очевидно,
\ da>Mp + |
^ daMP= 0. |
s, |
s2 |
Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов daMP будет также равна 4я. Таким образом, и в этом случае
w (М) = 4nv0.
Если точка М лежит вне поверхности S, то телесные углы d(£>Mp, отвечающие элементам doP поверхности 5Х (рис. 26), будут отрицательными, а телесные углы d(oMP,
8 * |
227 |
отвечающие элементам dap поверхности S2 (рис. 25), будут положительными. Поэтому
|
|
\ da>MP = jj d® M p + ^ d®MP — 0. |
|
|||
|
|
s |
s, |
s. |
|
|
Таким |
образом, |
если точка М лежит вне S, то w(M) = 0. |
||||
Аналогично устанавливается, что w(M) = 2nv0, если |
||||||
|
|
|
|
Теперь мы можем выяснить по |
||
|
|
|
ведение потенциала двойного слоя |
|||
|
|
|
в окрестности точки М, лежащей |
|||
|
|
|
на несущей |
поверхности. |
||
|
|
|
С в о й с т в о А. Если плотность |
|||
|
|
|
моментов v (Р) непрерывна на S, |
|||
|
|
|
то потенциал двойного слоя w(M) |
|||
|
|
|
имеет разрыв первого рода в точ |
|||
|
|
|
ках |
несущей поверхности S со скач |
||
|
|
|
ком, равным Anv (М)\ |
|
||
|
Рис. |
26. |
йУвп (Mo) - |
Ш о ) = |
А л х (М0), |
|
|
|
|
М0е 5. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь давн (АД) —предел функции w (М) в точке АД, |
||||||
когда |
точка |
М стремится |
к АД |
изнутри |
поверхности; |
|
wH(АД) —предел функции w(M) в точке АД, когда точка М стремится к АД снаружи.
Для простоты мы будем |
предполагать, |
что каждый |
|||||
луч, проведенный из точки |
М, пересекает S |
не более чем |
|||||
k раз |
(хотя утверждение |
верно для произвольной по |
|||||
верхности Ляпунова). Пусть |
АД — фиксированная |
точка |
|||||
поверхности S. |
Рассмотрим вспомогательную функцию |
||||||
|
w (М) ■- ^ {v (Р) —v (АД)} d(oMP= w (М) — w (М). |
(22) |
|||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
Лемма . Функция w{M) непрерывна в точке АД. |
|||||||
До к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через S' |
часть поверх |
||||||
ности |
S, |
содержащуюся в |
некоторой б-окрестности D6M |
||||
точки |
АД, |
а через S" —остальную часть 5. |
Тогда |
w(M) |
|||
можно записать |
в виде |
|
|
|
|
||
w (М) — Wx (М) + Щ (М),
где
% (М) = [ { v { P ) - v (АД)} d®Mp,
S’
щ(М) = 5 {v (Р) —v (АД)} da>MP.
S "
228
Функция w2(M) непрерывна в точке М0. Поэтому для
произвольного |
е > 0 величина \w2(M)— w2(M^\ будет |
||
меньше |
е/3, если ММ0 достаточно мало. |
Далее, |
|
I ®i (М) |
\ |
{ v ( P ) - v ( M 0)}d<*Mp |
|
|
С' |
|
|
|
|
й=: ! v (Р) - |
v (М0) 11 d(£>Mp |
|
|
S' |
|
Пусть лучи, проведенные из точки М, пересекают поверх ность S не более чем k раз.
В силу непрерывности v (Р) в точке М0 величина
! v (Р) — v (Л40) j |
будет меньше |
e/\2kn, |
если б (радиус |
окрестности DbM |
точки Ми) будет достаточно мал. Далее, |
||
|
^ | da>MP| < |
4nk. |
|
|
у |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
| wx (М) | ==£ Ц| v (Р) —v (М0) 11 d(S)MP| < | |
и j щ (М0) | < ~ . |
||
S' |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
| W (М) — W (АД) | |
I щ (М) | + |®! (АД) ' + |
|
|
|
|
+ \Щ (М) — щ (АД) j < е, |
|
если точка М достаточно близка к АД. Лемма доказана.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
с в о й с т в а 4. Перейдем в фор |
|
муле (22) |
к пределу, устремляя точку М к АД изнутри |
|
и снаружи |
поверхности |
S; тогда получим соответственно |
®вн (М0) = wBH(АД) - 4nv (АД) = ® (ЛД) =
= w (АД) — 2nv (АД) = ®н (АД) = wa(АД) —О,
где ® (АД) и w (АД) — значения функций w (М) и w(M)
в точке АД на 5. Из этих равенств находим |
|
wBH(Mo) = W(АД) + 2nv (М0), |
(23) |
wH(M0) = w (Af0)-2rcv (АД), |
(24) |
wBH(M0) - w H(M0) = 4riv(M0). |
(25) |
Для двумерного случая потенциал двойного слоя опре деляется с помощью интеграла
w (М) = jj v (Р) дп In |
dsp, |
с |
?МР. |
|
229