Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

где Р* e D , т = $ р dxP— суммарный заряд. Отсюда и сле­ дует свойство 5 ’

П р и м е р 1. Найдем объемный потенциал равномерно заряжен­ ного шара D радиуса R. Очевидно, искомый потенциал есть функция расстояния г от центра шара до точки наблюдения:

Этот интеграл называется потенциалом простого слоя.

В дальнейшем мы будем считать, что функция р (Р) огра­

220

ничена, |р ( Р ) |^ Я , а поверхность 5 является поверх­ ностью Ляпунова. Поверхность S называется п о в е р х н о с т ь ю Л я п у н о в а , если она обладает следующими свойствами:

1) в каждой точке поверхности 5 существует каса­ тельная плоскость;

2) для каждой точки Р поверхности S существует

где А и б —некоторые постоянные и 0 < б < 1. Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого

слоя.

С в о й с т в о 1. П о т е н ц и а л п р о с т о г о с л о я о п р е д е ле н

в с ю д у .

Для точек М, не принадлежащих несущей поверх­ ности S, это очевидно. Если M e S , то интеграл (17) является несобственным по двумерной области 5. Изве­ стно, что несобственный интеграл по двумерной области

е dop

\ “а

', Г М Р

Если М ф S, то интеграл (17) не является несобствен­ ным и его непрерывность непосредственно следует из не­ прерывности подынтегральной функции 1/гМР.

Если M0 e S , то достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (17) в окрестности точки М0. Оценим

интеграл

Г Р(P)dop

Vi(M)= }

'МР

221

воспользуемся системой координат с началом в точке М0,

отстоящая от точки М0на расстоянии, меньшем б, ММ0< 6 .

Проекция на плоскость (.х, у) элемента поверх­ ности da равна ds = da ■cos у, где у — угол между нор­ малью к поверхности 5 и осью г. Очевидно,

dap

222

С в о й с т в о 4. Если несущая поверхность S ограни­ чена, то потенциал простого слоя стремится к нулю,

простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверх­ ности S со скачком, равным 4др (Л4 ).

На доказательстве этого свойства мы останавливаться не будем *).

Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого слоя имеет вид

v(M)= f p ( P ) l n P - W .

рV rMP j

Для него справедливы свойства 1—3. При стремлении точки М к бесконечности он стремится к оо, как In гМР. Скачок нормальных производных в точках кривой С равен 2яр (М). Доказательства всех этих свойств проводятся аналогично трехмерному случаю, поэтому мы не будем повторять их.

§3. Потенциал двойного слоя

1.Пусть в точках Р± и Р2 (рис. 22) расположены заряды величиною — е и е. Потенциал электростатического поля, созданного этим диполем, равен

W ( М)=е [7

\ГМ Р 2 ' М Р 1

или

w ( M ) = e h - t ( - 1

мр р = р *

где Р* —некоторая точка отрезка РгР2 и производная берется по направлению п отрезка от Рг к Р2 (оси диполя),

223

h —расстояние между точками Рх и Р2. Величина eh — v называется моментом диполя. Если мы будем сближать точки Рх и Р2, сохраняя момент диполя v (увеличивая при этом величину зарядов е), то в пределе (при /г->- 0) получим точечный диполь, расположенный в точке Р, потенциал которого равен

w (М) = v дп \ гмр

где производная берется по координатам точки Р в напра­ влении оси диполя.

Пусть S — двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если в некоторой точке Р этой поверхности выбрано положи­ тельное направление нормали пР к поверхности и точка Р движется по любой замкнутой кривой (ле­ жащей на S), причем направление нормали меняется при этом непре­ рывно, то при возвращении в ис-

принять за положительное, так что единичный вектор этого направления п будет непрерывным на поверхности. Мы будем предполагать, что такое положительное напра­ вление выбрано.

2.Если на двусторонней поверхности 5 распределен

диполи с плотностью моментов v (Р) так, что оси их

Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя.

Такое название связано с тем, что к интегралу (19) при­ водят также следующие рассуждения. Пусть S — двусто­ ронняя поверхность с фиксированным положительным направлением нормали. Вообразим теперь, что на положи­ тельном направлении нормали в каждой точке мы отло­ жили отрезки длиною /г. Геометрическое место концов этих отрезков образует поверхность 51; отстоящую от 5

224