Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 0
где С —контур, на котором расположены диполи. Для него также справедливы свойства 1 и 2. Рассуждениями, совершенно аналогичными приведенным, можно устано
вить, что в точках М0 |
несущей кривой С имеем |
|
wBn (М0) |
= W (Мп) -h KV (Мп), |
(26) |
Щ, (Мо) = w (М0) - nv (М0), |
(27) |
|
и>вИ(Л10) - (Мо) = 2лу (Мо). |
(28) |
|
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач
Рассмотренные свойства потенциалов позволяют поль зоваться ими как удобным аппаратом для решения кра евых задач. Мы покажем это на примере первой внут ренней краевой задачи:
|
|
Au = f(M) |
в D, |
(29) |
|
|
« |5 = ф (Л4), |
(30) |
|||
и и(М) |
непрерывна |
в D = D-\-S. |
|
||
Частным решением уравнения (29) является, очевидно |
|||||
(по свойству 4 § 1), |
объемный |
потенциал |
|||
|
|
411 |
0 |
гм р |
|
Поэтому |
естественно |
искать |
решение |
задачи (29) — (30) |
|
в виде |
суммы и (М) = их (М) + «2 (М), |
где для функции |
|||
и2 (М) краевая задача будет ставиться следующим образом:
Л«2 = 0, |
(3J) |
и2Ls = ф (М) — щ (М) Is = F (М). |
(32) |
Попытаемся искать решение этой задачи в виде потен циала двойного слоя
и2(М) = w (М) = ^ v (Р) |
|
dap |
|
|
0 |
г м р |
|
с надлежаще подобранной |
функцией |
v(P). При любом |
|
выборе функции v (Р) этот |
потенциал |
гармоничен в D |
|
(по свойству 2 § 3). Чтобы удовлетворить краевому усло
вию (32), |
надо, чтобы в точках М е |
S выполнялось соот |
ношение |
wBH(M) = F (М). Пользуясь |
формулой (23) § 3, |
это условие можно написать в виде |
|
|
w (М) + 2nv (М) = F (М)
230
и л и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(P) |
дп |
|
) daP+ 2nv (М) = F (М). |
|
(33) |
||
|
|
|
|
'мр/ |
|
|
|
|
Решением |
краевой |
|
задачи (31) —(32) |
будет |
потенциал |
|||
двойного |
слоя |
с такой плотностью v (Р), которая |
удов |
|||||
летворяет |
условию |
(33). |
|
|
|
|||
Таким образом, наша краевая задача сводится к реше |
||||||||
нию интегрального |
|
уравнения (33) относительно |
v (Р). |
|||||
П р и м е р 2. |
Решим первую краевую задачу |
для |
круга |
ради |
||||
уса/?, ограниченного окружностью С, |
|
|
|
|||||
Ли = 0, |
u\c = F (s), |
|
|
|
||||
где s —длина дуги окружности. |
|
|
|
|||||
В точках М окружности (рис. 27) |
|
|
|
|||||
|
cos ср |
2R- |
(34) |
|
|
|
||
|
ГМР |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Решение ищем в виде потенциала двой ного слоя
и (s) =
С m д ( 1 \
=\ V®dn{r)
с |
с |
С учетом формулы (34) краевое условие дает интегральное уравнение для определения v(s):
jj 21? V® |
(S(= F ^ ' |
(35) |
с
Будем искать решение этого уравнения в виде
v(s) = ~ F Is) + А,
где А —неизвестная постоянная. Подставляя эту функцию в уравне ние (35), получим
dc,-{-F (s)-f-n/l — F (s),
откуда |
|
|
^ © 4 + 2яЛ=0 и |
|
) d-Ь |
2лR |
|
|
Таким образом, |
J |
|
v(s) = i./-(s) |
F(l)dl. |
|
л v ’ An?R |
231
Следовательно, решение краевой задачи имеет вид |
|
||||||||||
(* |
№. cos ш ... |
1 |
(“ F (£) cos ф ,,, |
|
|
|
|||||
и ( М ) = \ ^ |
v © - ^ d g = - - |
|
|
|
|
|
|
||||
с |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
! |
С |
г |
|
« |
С cos w „ |
1 |
(* |
cos ф |
„. |
|
|
*7? |
\ |
^ |
® |
^ |
т |
|
= |
я |
J |
г f ® d| - |
|
4я2/?1 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2jiR |
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
1 |
С |
2rR cos rp — Г2 |
Р |
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
И = я |
|
-----F{l)dl- |
|
|||||
Из А ОРМ (рис. |
28) находим (СШ =р) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2.Rr cos ср —г2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2Rr* |
|
|
|
R2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R [/?2 + |
р2 —2Rp cos (в-яр)]’ |
|||
|
|
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (М) = |
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(RZ-pz) F (R -Ъ) М |
|||
|
|
|
|
|
|
|
С |
||||
|
|
|
|
|
|
2я j |
R2 + |
j)2 — 2/?р cos (6 — г|з)' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили интеграл |
Пуассона. |
||||
Решение второй краевой за дачи для уравнения Лапласа надо искать в виде потенциала простого слоя с неизвест
ной плотностью р(Р).
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям
1. Задача Коши для линейного обыкновенного диффе ренциального уравнения п-го порядка может быть све дена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Для определенности рассмотрим уравнение второго порядка
у" + а(х)у'+b(x)y = f(x), |
(36) |
|
У(0)=Уо, |
у' (0) = Уо • |
(37) |
Введем обозначение |
|
|
у" (х) = |
Ф (я). |
(38) |
232
Тогда
У' (*) = У'о+ ^ Ф (s) ds, |
(39) |
6 |
|
лг |
|
У(х)=Уо + \ У' (1) d\. |
(40) |
о |
|
Заменяя производную у' (£) в формуле (40) ее значением
по формуле (39), получим
* I
У (х) = Уо+ ХУ«+ ^ Ф (s) ds dl-
6 о
Изменяя в этой формуле порядок интегрирования, по лучим
* |
|
У(х)=Уо + ху« + \ ( х - s)q{s)ds. |
(41) |
о |
|
Таким образом, мы выразили функцию у(х) и ее про изводные у' (х) и у" (х) через функцию ф (х) по формулам (38), (39), (41). Подставляя эти значения в уравнение (36) и внося под знак интеграла функции а(х) и Ь(х), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
|
Ф (х) + 5 {а (х) + |
(х - б) b (х)} ф (s) ds = Д (х) |
(42) |
|
|
6 |
|
|
|
с ядром К (х, s) = a(x) + |
(x —s)ft(x), где |
|
||
|
h (*) = f (х) ~ УФ (х) - |
уф (х) - хуф’ (х). |
|
|
Для |
уравнений я-го порядка |
процедура сведения |
задачи |
|
Коши к интегральному уравнению аналогична. |
|
|||
2. |
Покажем теперь, |
что задача Штурма— Лиувилля |
||
на конечном отрезке может быть сведена к интеграль ному уравнению Фредгольма второго рода.
Применим теоремы Гильберта к задаче Штурма —Лиу
вилля |
(43) |
L[y\ + 'Kp(x)y = 0, |
|
«В/' (0) - М (0) = 0, агу' (/) + %у (/) = 0. |
(44) |
По 1-й теореме Гильберта решение этой задачи дается формулой
y(x)=l\G(x, s) р (s) у (s) ds, |
(45) |
о |
|
233