Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Г л а в а XI

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ

В этой главе мы будем рассматривать уравнения Фред­ гольма только с с и м м е т р и ч н ы м и ядрами. Ядро К (х, s) называется симметричным, если для всех х и s из квад­ рата а ^ х , ss^b выполняется тождество

К(х, s) = K(s, х).

Если ядро К (х, я) симметрично, то, очевидно, и все ите­ рированные ядра Кп(х, s) также симметричны. Напомним, что для простоты изложения мы ограничиваемся рас­ смотрением лишь непрерывных в квадрате й < х, s^ . b ядер.

Уравнения с симметричными ядрами чаще других встречаются в задачах математической физики. Они обла­ дают целым рядом специфических свойств, главное из которых выражает

Т е о р е м а 1. Всякое непрерывное симметричное ядро, не равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно собственное значение.

Мы не будем приводить доказательство этой теоремы *). Отметим лишь, что среди несимметричных ядер имеются такие, у которых нет собственных значений. Таковым,

235

§1. Простейшие свойства собственных функций

исобственных значений ядра К ( х , s)

Очевидно, справедливы следующие два свойства.

С в о й с т в о 1. Если ср (х) есть собственная функция, соответствующая собственному значению Я, то Сф(х), где С — произвольная постоянная (С Ф 0), также является соб­ ственной функцией, соответствующей тому же Я.

была равна единице, || Cep j| = 1. В дальнейшем будем предполагать, что все собственные функции нормированы указанным образом к единице.

С в о й с т в о 2. Если две собственные функции фч (х) и ф2 (х) соответствуют одному и тому же собственному зна­ чению Я, то, каковы бы не были постоянные Сх и С2 (С; -j- -j- Cl Ф 0), функции (х) + С2ф-2(х) также являются собственными функциями, соответствующими тому же собственному значению Я.

Докажем С в о й с т в о 3. Собственные функции фх (х) и щ(х),

соответствующие различным собственным значениям Ях и Я2, ортогональны на отрезке [а, Ь], т. е.

ь

$ Ф1 (х) ф2’ (х) dx = 0.

а

Первое из них умножим на ф2(х), второе —на фх(х) и по­

= $$ К (х, s) (pi (s) ф2 (х) dsdx—^ к (X, s) ф2 (s) фх (х) ds dx.

а а а а

236

Меняя порядок интегрирования во втором члене правой части равенства и учитывая симметричность ядра, получим

Отсюда и следует ортогональность.

Если ортогонализировать собственные функции, соот­ ветствующие одному собственному значению Я*), то можно утверждать, что любые две линейно независимые собствен­ ные функции ф1 (х) и ф2 (лс) ортогональны.

В дальнейшем мы будем предполагать, что такая ортогонализация произведена всюду, где она необходима. Сле­ довательно, семейство собственных функций можно счи­

*) См. стр. 93.

237

Таким образом,

X = ос —- ф и ф (х) ~ г|?х (х) — i\J)2 (х)

также являются соответствующими друг другу с. з. и с. ф. Поскольку 'кф'к (ибо (3=£0), то по свойству 3 функции Ф (х) и ф (х) ортогональны, т. е.

ь _ ь

$ Ф Мф М dx = ^ {Ф? (а') + Ф: (х)} dx-= 0.

Отсюда ввиду непрерывности функций фх (х) и ф2 (х) сле­ дует, что фд (х) = ф2 (х) = 0. А тогда ф (х) = 0, что невоз­

содержится лишь конечное число (оно может быть равным нулю) собственных значений.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что на некотором от­ резке [Л0, В0] содержится бесконечное множество собствен­ ных значений. Выберем из этого множества некоторую бесконечную последовательность собственных значений

{Я„}. Пусть {ф„ (х)} — последовательность соответствующих им собственных функций. Поскольку семейство функций

{ф„ (х)} является ортонормированным, а коэффициенты Фурье ядра К (х, s) по функциям этого семейства равны

Фп(х), то справедливо неравенство Бесселя

X

238

р

= max {Л5, Bl}. Заменив в сумме У ^ все %п большим

П—\ Кп

числом В2, для любого целого р получим

а а

Из свойства 5 непосредственно следует, что: а) все собственные значения можно занумеровать в порядке роста их абсолютных величин, т. е.

б) если спектр собственных значений бесконечный, то

I Я„ | со при п -> оо.

С в о й с т в о 6 . Каждому собственному значению Я соот­ ветствует конечное число q линейно независимых собст­

венных функций cpt (л:), ф2 (х), . . . , cpq(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что некоторому соб­

ственному значению Я соответствует бесконечная последо­ вательность линейно независимых собственных функций

239