Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

бы однородная система линейных уравнений ((4)

при Рг =

= 0, гл. IX) для определения коэффициентов

С; имела

П

К(п) (х, s) = K (X, s) — ^

фр (х) фр (s).

р=Л р

Если она не

равна тождественно

нулю, К[п) (х, s) ф. 0,

то по теореме 1

она имеет по крайней мере одно собствен­

Ф р (х ) ядра K(x,s),

ибо

ь

ь

ь

$ ф (х) ф9 (х) dx =

р $ ф9 (х) $ К(п) (х, s) ф (s) ds dx —

а

а

а

= § Ф (s)

jx {х, s) —

У

Фр(^ Фр(9)| фр (х) dx ds.

а

а I

р = 1

Р )

Цгр (s) К

К (ж, s) ср9 (х) dx -

I

ds

а

I а

\

Ф (s) {х- ф, (s) -

~ ф, (s)} ds = 0;

p

и яр (x)

суть с. з. и с. ф.

ядра

К {х, s),

ибо

ь

ъ

г, фр (х) фр (5) |

ц || К {х,

s) яр (s) ds = р jj

(ж, s) + ^

X

/7 = 1

X яр (s) ds = р

$ К(п) (х, s) яр (s) ds = яр (х).

яр (ж) к функциям срр(х).

Поскольку ip (ж)

есть с. ф. ядра

K(x,s)

и функции фДх),

ф2(х),

ф„(ж) образуют пол­

ную систему собственных функций ядра

K(x,s), то яр(дг)

должна

быть линейной

комбинацией

функций

фДх),

ф2(х),

ф„(ж). Но это невозможно, так как яр (ж)

орто­

предполагать, что

(ж, s) =£0. Следовательно, К(п) (ж, s) =

= 0, или

П

К

(ж, s) = у

г фр (ж) фр (s),

т. е. ядро К (ж, s)

р-—1 р

является

вырожденным. Таким обра­

зом, справедлива

Для того

чтобы спектр симметричного

Т е о р е м а 2.

ядра был конечным,

необходимо и достаточно, чтобы ядро

было вырожденным.

ь

Для интегрального

оператора ^ К (ж, s) ф (s) ds введем

краткое обозначение

а

ь

Ац> =

\К (ж, s) ф (s) ds.

а

Фр(х) =—ХрА(рр= ХрА

= ХрА фр^ ...

*

• • • = ?у4лфр = Ц $ Кп (х, s)qp(s)ds,

из которых следует

а

Для доказательства

нам

понадобится

уравнения

Л е м м а

1.

Если

hu

h2, ...,

hn — корни

/z"= p, то

A; + A* + ... + /£ = 0

для s — 1,

2,

...,

п — 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как известно,

hm = yrylim,

где

„

уравнения

пп —р,

£ = е

. 2л

у р — какой-нибудь корень

п .

Тогда

h\+ hi+... + hi =

(1 + Г+ Г + • • • + Г,л_1)

Г =

=

^

, f

e r = 0,

так как

=

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р емы.

Пусть

ф(х) —собст­

венная функция ядра Кп(х,

s), соответствующая собствен­

ному значению р.

О п р е д е л и м ф у н к ц и и <рр (х) п о ф о р м у л а м

ф/>(*) = п

... -ф А ^'Л ^ ф ).

(1)

Суммируя эти равенства

по р от р = 1 до р = п и

при­

нимая во внимание лемму

1, получим

М Ф р = 1п (АрЛф + А* Л2ф+ . . . + /г" -

+ - - А£Л"ф,

поскольку /г" = р и рЛ,гф = ф.

Таким

образом, не равные тождественно нулю

функ­

ции фр (х)

являются

собственными

функциями

ядра

К (х, s), а

Ар — соответствующими

им

собственными зна­

чениями. По свойству

4 ядро К (х,

s)

имеет лишь вещест­

венные

собственные

значения. Следовательно, функции

Фр( х ),

отвечающие комплексным корням Ар, тождественно

равны

нулю. Если п

нечетно, то имеется лишь один ве- 1

Пг—

щественныи корень у

ц = пр, который и должен быть соб­

ственным

значением ядра К(х, s), а

фр (х) = ф (х) — его

собственной функцией.

Если п четно, имеются два вещест­

венных корня.

Пусть

фх (х) и ф2 (х) — отвечающие им соб­

ственные функции. Тогда

Ф ( х ) е= Ф 1 ( х ) + ф 2 (х ) .

(2 )

Таким образом,

при нечетном п каждая с. ф.

ядра Кп (х, &)

будет также с.

ф. ядра К (х, s).

При четном п

каждая

с. ф.

ядра Кп (х, s) будет либо

совпадать

с с.

ф. ядра

К (х,

s) (одна из функций ф1(х) или ф2 (х) в формуле (2)