Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Совершенно аналогично выводится уравнение диффу­ зии. При этом надо пользоваться законом Нернста для потока вещества w в направлении п:

п ди w —— D .. .

дп

Здесь и = и{М, t) —концентрация диффундирующего веще­ ства (газа, жидкости), D — коэффициент диффузии. В фор­ муле для Q3 вместо ср надо написать коэффициент пори­ стости с среды, в которой происходит диффузия. Уравне­ ние диффузии имеет вид

По физическому смыслу k и D положительны. Поэтому уравнения (2 1) и (2 2) параболического типа.

Задачи об отыскании установившейся температуры или концентрации приводят, очевидно, к уравнению эллипти­

§7. Кинетическое уравнение*)

1.Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом

вкинетической теории газов.

В30-х годах, с возникновением задач нейтронной физики, ки­ нетическое уравнение нашло приложение в вопросах прохождения нейтронов через вещество.

Внастоящее время оно находит разнообразные применения в за­

дачах, связанных с прохождением через вещество элементарных частиц и различных видов излучения (в последнем случае его назы­ вают уравнением переноса).

Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса являются приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана.

Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс рас­ пространения нейтронов в некотором веществе. Это уравнение выво­

на нейтроны равно нулю. Если бы мы выводили кинетическое урав­ нение для электронов в плазме, то такое предположение было бы неверным.

2)Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются (кон­ центрация нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе).

3)Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем химиче­ скими связями.

*) Этот параграф написан с участием А. Ф. Никифорова.

31

При этом возможны следующие процессы:

а) Рассеяние нейтронов на ядрах. Пусть a s —вероятность рас­ сеяния одного нейтрона на единице длины его пути в заданной среде (по-английски рассеяние —scattering).

б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть а с—вероят­ ность поглощения нейтрона на единице длины его пути (по-английски захват — capture).

в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате ко­ торого из осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром испу­ скаются в среднем v нейтронов (запаздывающими нейтронами, кото­ рые вылетают из осколков через некоторое время после деления, будем пренебрегать). Пусть а / —соответствующая вероятность вызвать

2.Пусть ¥ (г, v, () — функция распределения нейтронов по к

ординатам и по скоростям, так что ¥ (г, v, t) dr dv — число нейтро­ нов в элементе объема dr = dx dy dz со скоростями, лежащими в «интер­

Общее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов бу­ дет равно

¥ (г, v, t) dr dv а (и) v dt.

длины vdt.

32

3) Пусть ws (v' —*• v) dv есть вероятность нейтрону, имеющему скорость v', рассеяться после соударения с ядром в «интервал» ско­ ростей (v, v-\-Av), т. е. получить скорость из «интервала» (v, ■р + Лт>)- Короче будем выражать это словами: при рассеянии скорость

нейтрона изменилась с v' на v.

Тогда число нейтронов, скорость которых v' в результате рас­ сеяния на ядрах, содержащихся в dr, изменится по величине и на­ правлению так, что станет равна v, будет равно следующему инте­ гралу по всем возможным значениям скоростей т»':

^ dv' ['F (г, v', t) dras (v') v' dt ws (v' — v) dv],

V'

4)Число нейтронов со скоростью v, появившихся в результате деления ядер нейтронами со скоростями v', из аналогичных сообра­ жений равно

^ dv' [¥ (г, v 1, t) dr af (v') v' dt Wf (v' —* v ) d v v (v')].

Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде

¥ (r — v dt, v, t) dr d v — ¥ (r, v, t) dr dv —

— ¥ (r, v, t) a (v) dr dv -vdt-\-

+ ^ Y (r, v', t) a s (v') ws (v' — v) dr dv ■v’ dt dv' +

V '

+ ^ *F (r, v', t) ctf (v') v (v') Wf (v' —*■v) dr dv ■v dt dv’ +

V '

+ F(r, v, t) dr dv dt = ^ 4 f (r, v, t ) d r d v d t .

Так как

T (г, я, t) — ^ (г —v dt, v, t) — -jjjp v dt = (v grad Y) d t ,

то после суммирования и сокращения на dr dv dt получим кинети­ ческое уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов в среде, в виде

dV

-qj grad ¥ = — сто1? + F (г, v, t) +

+ § [as (v') ws ( v ' —* v)-j-v (v') a./(v')Wf (v' — v)]4.r (г, v', t) v'dv. (23)

o '

с—скорость света)*).

3.При исследовании уравнения (23) возникают серьезные ма матические трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением случая, когда скорости всех нейтронов одинаковы по величине (одно­ скоростное кинетическое уравнение). Точнее, рассматривают уравне­ ние при дополнительных предположениях:

Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при

делении возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие деление.

Для упрощения уравнения .предположим дополнительно, что распределение нейтронов после рассеяния и деления равномерно по направлениям скоростей в рассматриваемой системе координат, или, как говорят, изотропно.

гораздо больше размеров ядра. В лабораторной системе отсчета при этом условии рассеяние можно считать изотропным, если лаборатор­ ная система практически совпадает с системой центра тяжести, т. е. рассеяние нейтронов происходит на тяжелых ядрах, которые мы предполагаем в лабораторной системе покоящимися.

Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно по­ лучить, если повторить вывод кинетического уравнения для односко­ ростного случая при перечисленных дополнительных предположениях.

распределения Чг (г, I, t) в односкоростном случае по определению

34

В результате для функции W (г, /, t) получим следующее урав­ нение:

£2'

Здесь а = а 3-\-ас-\-ар, P= a 5 + vay. Кроме того, мы предположили здесь для простоты, что источников нейтронов нет.

Если в уравнении (24) функция Y (г, I, t) зависит по простран­ ству лишь от одной переменной х, а зависимость от I характери­ зуется лишь углом 0 между осью X и направлением скорости I (ази­ мутальной зависимости от угла ф нет), то возможны дальнейшие упрощения. Так как dQ = sin 0 dQ dip, то после интегрирования в пра­ вой части (24) по углу ф получим