Это означает, что если {Яр} и {фр (х)} суть совокупности всех собственных значений и собственных функций ядра К (х, s), то |Я"| и {(рр (х)} —совокупности всех собствен
ных значений и собственных функций ядра Кп{х>s)•
§3. Разложение итерированных ядер
Вэтом параграфе мы докажем, что для всякого п 5= 3 справедливо разложение
в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квад рате а ^ х , s ^ b ,
Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части (3), сходится абсолютно и равномерно в квадрате a=s^x, s ^ b . Для этого оценим отрезок ряда
|
m+q |
|
|
|
|
m-\-q _ |
|
|
|
|
2 ьД11фр м^ |
: 2: Я"- |
21 |
2 |
[фр (,г) | |
• |
(4) |
|
p = m I Р I |
|
|
i m I p — m |
|
|
|
|
Мы |
при |
этом |
воспользовались |
неравенством |
| А ■В \^ |
^ у ( Л 2+ Д2) и тем, |
что |ЯР! монотонно стремятся к бес |
конечности при |
р -* - оо. По неравенству Бесселя |
|
|
|
|
со |
|
„ |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
р= 1 |
Р |
a |
|
|
|
|
|
|
где D —const и Z )> 0 . Поэтому |
при q > 0 |
|
|
|
|
m+q |
фр (х) Фр (S) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
1 |
|
\П |
|
1п—2 |
|
|
|
|
p = m |
'V |
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
|Ят |-э-схэ |
при т-*- оо *), |
то |
из |
неравенства |
(5) |
по критерию Коши и следует абсолютная |
и равномерная |
сходимость ряда |
(3). |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
ф (х, s)= ^ - ^ ‘ Фр МФр Ф-
р = i р
) См. следствие б) из свойства 5.
Функция Ф(х, s) непрерывна в квадрате ж х , s ^ b . Нам надо доказать, что Кп(х, s)==<D(x, s). Предположим,
что это |
неверно. |
Тогда |
симметричная функция Q(x, s) — |
= |
К п (х, |
s) —Ф (х, |
s) по теореме 1 имеет с. з. р и с. ф. ф (х), |
т. |
е. |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
ф(х) = |
pjjQ(x, s) ф (s) ds. |
Функция ф (х) ортогональна всем собственным функциям
фг (х) |
ядра |
К (х, |
s), |
так |
как |
|
ъ |
|
|
|
b ь |
|
|
|
$ ф (х) срл (х) dx —р jj ^ Q (*> |
s) Ф (s) Ф/- (х) ds dx = |
а |
о |
о |
|
а а |
|
со |
|
|
|
|
|
|
= И- |
§ Ф (s) § |
{Кп (X, |
s) - |
2 |
~п Фр (*) фр 0)} фл (X) dx ds: |
|
|
|
|
|
|
р= 1 ХР |
|
|
|
Ь |
|
Ь |
|
|
|
|
= |
Р ^ Ф (S) { ^ / с „ |
(X, S ) (х) dx |
|
|
|
а |
|
а |
|
|
поскольку
Ь
фг (s) = Ц \ К п (X, S) фг (х) dx.
а
Функция ф (х) является собственной функцией ядра Кп (х, s), поскольку
ф (х) = р $ Q (х, s) ф (s) ds =
а |
|
а V |
ф (s) ds == |
Ря I |
|
= р ^ (*, s) ф (s) ds. |
Мы воспользовались при этом ортогональностью функ ции ф (х) ко всем собственным функциям ц>р (х).
Следовательно, как показано было в § 2, ф(х) должна быть линейной комбинацией функций фр(х). Но это не
возможно, так как ф (х) |
ортогональна всем функциям |
Фр(х). Таким образом, |
нельзя предполагать, что |
Q (х, s)Д2Ё0 . |
|
З а м е ч а н и е . |
Разложение |
(3) справедливо |
и для |
Кг(х, s) (п —2), а также, |
при |
некоторых дополнительных |
условиях, и для к |
х, s). |
На |
доказательстве этого |
мы не |
будем останавливаться *). |
|
|
|
|
§ 4. Теорема Гильберта — Шмидта |
|
Теперь мы докажем одну |
из |
фундаментальных теорем |
теории линейных интегральных уравнений, имеющую мно гочисленные приложения, — т е о р е м у р а з л о ж и м о с т и .
Т е о р е м а Г и л ь б е р т а - Ш м и д т а . |
Если функция |
f (х) может быть представлена в форме |
|
ъ |
|
/ (х) = $ К (х, s) h (s) ds, |
(6) |
а |
|
где h(s) кусочно-непрерывна на [а, Ь\, то она представ ляется рядом Фурье по собственным функциям ядра К (х, s), т. е.
СО
/ ( * ) = 2 / р ф р ( * ) , |
( 7) |
рI
где
ь
/Р = $ / (х) Фр (х) dx,
а
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[а, Ь].
Для доказательства нам понадобится
Л е м м а 2. Для того чтобы непрерывная функция Q (х) была ортогональной ядру Д (х, s), т. е.
ь
5 К (х, s) Q(s) ds = 0, |
(8) |
а |
|
необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональной каждой собственной функции ядра, т. е.
ь
^Q {х) ф р {х) dx = 0 |
( р= 1, 2, . . . ) . |
(9) |
а
*) См. М и х л и н С. Г., Лекции по линейным интегральным урав нениям, Физматгиз, 1959.
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Н е о б х о д и м о с т ь . |
ь |
ь ь |
|
|
5 Q(*) Ф р W dx = Я,р 55 К (х, |
s) ф р (s) Q (х) ds dx = |
а |
а й |
|
|
|
= |
кp |
x, s)Q(x) dx jds = 0, |
так как внутренний интеграл равен нулю. |
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Рассмотрим вспомогательный ин |
теграл |
|
|
b ь
Л = jj $ Ki (х, s) Q (х) Q(s) ds dx.
a a
Он равен нулю, так как, |
используя |
разложение (3) для |
п = 4 и равенства (9), |
получим |
|
b b со |
|
|
|
'■-aИa p = 1 |
_ |
. . п . . . . , |
|
Фр (*) Фо (S) |
|
------^ ------ Q (х) Q(s) ds dx = |
2 |
|
|
|
|
bО |
|
bО |
■ V 4- |
|
Фр (х) Q (х) dx |
^ фр (s) Q (s) ds = 0. |
p = 1 |
a |
|
|
b |
|
|
|
Поскольку Ki (x, s) == § K2(x, t) K2 (t, s) d/, to
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
fr b |
/ 6 |
K2 [x, t) K2 it, |
4 |
|
|
|
0 = |
^ |
H |
s) d/l Q (x) Q (s) ds dx |
|
a a \ a |
|
|
) |
|
|
|
b |
n -b |
|
|
t)Q (x) dx |
-b |
(t, |
s) Q (s) ds dt ■ |
= U |
\ |
K |
2 { X , |
5 K 2 |
|
|
|
|
|
|
ь ,ь |
t) Q(x) dxj dt. |
|
|
|
|
|
|
^ | ^ K2(x, |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ K 2(x, t)Q(x)dx = 0. |
(10) |
Мы при |
этом |
воспользовались |
симметричностью ядра |
К2(х, s). |
Умножая тождество (10) |
на Q(t) |
и интегрируя |
результат (по t) |
по отрезку |
[а, Ь], |
получим |
|
|
|
|
ь ь |
|
|
|
|
|
|
|
5 § к 2(х, t) Q (х) Q (t)dx dt = 0. |
|
Заменяя в этом равенстве Кг (х, t) интегралом $ К (х, £) X
а
х К (£, t) d£ и производя преобразования, аналогичные произведенным выше, получим
ь
^ К (х, I) Q (х) d x ~ 0.
а
Лемма доказана.
З а м е ч а н и е . Коэффициенты Фурье fp функции f (х) равны hp/kp, где hp —коэффициенты Фурье функции h{s). Действительно,
ь |
ь |
ь |
|
fp — \f (х) Фр (х) dx = $ фр (х) $ К (х, s) h (s) ds dx = |
a |
a |
a |
|
b |
b |
b |
|
= ^ h(s) |
^ К (x, s) cpp (x) dxds— |
h (s)-^-— ds = |
a |
a |
a |
^ |
поэтому вместо ряда (7) можно рассматривать ряд |
|
|
00 / |
|
|
/ ( *) = |
2 |
о о |
|
|
р=* |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы . |
Докажем сначала |
абсолютную и равномерную сходимость ряда (11). По нера венству Коши—Буняковского имеем
п +я | , |
n + q |
Г n + q |
(12) |
2 I |
2 ъ у |
2 |
р = п |
р = п |
Р = п |
^ р |
По неравенству Бесселя
ооЬ
Р = 1 |
а |
|
р = |
1 |
Р |
а |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
Следовательно, |
ряд |
^ h'l |
сходится, |
поэтому его |
отрезок |
п + ? |
|
|
р = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hi |
может быть |
сделан |
меньшим |
e2/Z) (где е —произ- |
р=п |
|
если п взять достаточно большим. |
Отсюда |
вольное число), |
