для достаточно больших п
n + q
V I |
I Л о |
2^ |
^ - ФР(х) < е для всех х е [ а , 6], |
р = п |
|
что и означает аосолютную и равномерную сходимость ряда (11). Пусть
со /г
Q (*)= 2 "Г Фр W - / W -
Р = 1 р
Функция Q (х) непрерывна на [а, Ь]. Она ортогональна всем функциям ц>р (х). Действительно,
§ Q (х) срл {х) dx = W |
^ |
-■£- ФР W ~ / (*) I ф. М dx = |
|
а |
|
|
а |
= 1 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■Д = 0. |
Следовательно, |
согласно |
лемме |
она |
ортогональна |
ядру |
К (х, s), |
т. |
е. |
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^К(х, |
s) Q(х) dx = |
0. |
|
(13) |
Далее, |
в |
силу |
ортогональности |
функций Q(x) |
и |
срр (х) |
^ Q3 (x) rfx |
|
|
со |
h |
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — \Q(x)f(x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
Заменяя здесь /(х) по формуле (6) и используя |
формулу |
(13), получим |
|
ь |
|
|
|
|
|
ь |
|
ь |
|
|
|
|
|
|
jj Q2 (х) dx —— ^ Q(х) J К (х, s) h (s) ds dx = |
|
|
a |
|
a |
|
a |
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—— ^ h (s) ^ К (x, s)Q (x) dx ds = 0. |
Следовательно, |
|
|
a |
a |
|
|
|
|
CO ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q W = |
2 |
фрW - f(x) = °. |
|
|
Теорема доказана. |
P = 1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Р а зл о ж ен и е р еш ен и я н ео д н о р о д н о го ур авн ен и я
Пусть в уравнении
Ф (х) = К^ К (х, s) ф (s) ds -f / (х) |
(14) |
|
|
а |
|
К не равно ни |
одному из собственных значений. |
Тогда |
по 1-й теореме |
Фредгольма это уравнение имеет единст |
венное решение, |
которое можно записать в виде |
|
ь |
|
4>(x)=f(x) + bg(x), |
(15) |
|
|
|
где g(x) = \ К (х, |
s) ф (s) ds. |
|
а |
|
|
|
По теореме |
Гильберта —Шмидта функция g(x) |
может |
быть представлена рядом по собственным функциям ядра
К{х, s):
СО
|
|
|
£ (* )= |
Z Срц>р (х). |
|
|
(16) |
|
|
|
|
p= i |
|
|
|
|
Подставим |
в |
уравнение (14) вместо |
ф (*) |
ее выражение |
по формуле (15), |
получим |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) + b Z |
СрЧ>р (х) = |
|
|
|
|
|
|
р= ‘ |
|
= |
|
,ь |
( |
|
°° |
|
\ |
|
|
f(x)-\-%\K{x,s)U{s) + k |
2 |
Срфр(s)Vrfs, |
ИЛИ |
|
|
|
а |
{ . |
|
Р== |
1 |
J |
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
со |
|
|
|
оо |
|
|
|
Z Срфр (х) = |
5 К {X, |
s)f (s)ds + k Z |
CP lК (X. S) (pp (s) ds. |
p = 1 |
|
a |
|
|
P - - 1 |
a |
|
|
|
Применяя теорему |
Гильберта — Шмидта к функции |
|
|
|
ь |
s) f (s) ds |
|
|
|
|
|
|
|
5 К (х, |
|
|
|
|
b |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
s) фр (s) ds |
через фр (х)/Кр, |
|
|
|
и заменяя ^ К (х, |
получим |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
со . |
|
со |
|
|
|
р = 1 |
|
|
|
р = 1 |
|
р =i |
|
|
|
откуда
C „ J ° |
\ c v |
или |
Xp—X |
l„ + |
|
Таким образом, искомое решение уравнения (14) пред ставляется следующим абсолютно и равномерно сходящим ся рядом:
г |
(1 7) |
Ф (x)=f{x) + X У т-^тЧ>р(х)_ |
р - 1 р
Если Я равно некоторому собственному значению кг, кото
рому отвечают |
собственные |
функции <рг (х), |
ф , + 1 (а ), . . . |
ф г + д ( х ) , ТО |
Яг = = Я т |
= . . . |
= Яг+(?. |
|
определения |
В этом случае, как |
видно из формул для |
коэффициентов |
СР, |
должны |
выполняться |
равенства fr = |
= f r+1 = . . . = - f r + q = О, |
ИЛИ |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
5 / (X) фr+t (x)dx = О |
(t = 0, 1,2, |
, q), |
а |
|
|
|
|
|
|
т. е. функция / (х) должна быть ортогональной всем соб ственным функциям ядра, соответствующим собственному значению кг. При этом коэффициенты Сг, Сг+1, , Сг+д не определяются (остаются произвольными), и решение уравнения (14) может быть записано в виде
ф (х) = |
Сгфг (х) + Сгг1фГп ! .(X) + |
• ■• + |
C r+g<Pr+q (х) + |
|
|
|
|
|
+ |
р |
Тр- х фр (*)+/.(*)» |
(18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
означает суммирование по всем значениям р, |
кроме |
Р — г, |
г + 1 , .... |
r + q. |
|
|
несимметричным |
ядром |
З а м е ч а н и е . |
Уравнение с |
|
вида |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
s) р (s) ф (s) ds, |
|
|
|
Ф (х) = |
X $ К (х, |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
где р (s) — и з в е с т н а я |
ф у н к ц и я , |
p ( s ) 5 s 0 на |
[а, |
Ь], и |
К(х, s) —с и м м е т р и ч н а я ф у н к ц и я , |
о ч е в и д н о , |
п р и в о д и т с я |
к у р а в н е н и ю с с и м м е т р и ч н ы м я д р о м о т н о с и т е л ь н о ф у н к
ции ф (х) —ф (а ) У р (а-):
ь
ф (А) = Я / ( (a , s) V р (а ) р (s ) ф (s ) ds.
а
|
§ 6. |
Т еорем а С теклова |
|
|
В § 5 гл. X было |
показано, |
что краевая |
задача |
|
|
1[Ф] + ЯрФ = |
^ [ М ) '] - 7 Ф + ЯрФ = |
0, |
(19) |
|
ai® '(0 )-P i® (0 ) = 0, |
а аФ '(/) + раФ (0 = 0, |
(20) |
эквивалентна интегральному |
уравнению |
|
|
|
|
ь |
s) р (s) Ф (s) ds, |
|
|
|
Ф(*) = Я^С(х, |
|
(21) |
|
W(x) = X \ K 1(x, |
s) lF (s) ds, |
|
(22) |
|
|
a |
|
|
|
|
где |
Ki {x, s) = G (x, |
s) V p M P (s), V (x) = Ф (x)Vp(x),a |
G(x, |
s) — функция Грина краевой задачи (19)—(20). |
|
Следовательно, с. з. и с. ф. |
краевой задачи (19)—(20) |
совпадают с с. з. и с. ф. ядра |
Ki(x, s). Это обстоятель |
ство позволяет получить теорему Стеклова из теоремы Гильберта —Шмидта. Действительно, пусть / (х) есть функ ция класса А (см. гл. IV, § 2), тогда
L [ f ] ^ ~ [ k n - q f = - F ( x )
будет интегрируемой функцией и по 1-й теореме Гиль берта (см. гл. VII, § 3)
ь
f (x) = \j G (х, s) F (s) ds.
a
Следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта f{x) может быть представлена абсолютно и равномерно сходящимся рядом Фурье по собственным функциям {Фр (д:)} краевой задачи (19)—(20):
со
2 СрФр (х).
р= I
Таким образом, доказана теорема разложимости Стеклова для одномерного случая (гл. IV, § 2).
