Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7. К ласси ф и к ац и я ядер

Рассмотрим еще одно применение теоремы Гильберта — Шмидта. Среди симметричных ядер особый интерес пред­ ставляют положительно определенные (соответственно от­ рицательно определенные) ядра. Ядро K(x,s) называется

положительно определенным (соответственно отрицательно определенным), если для всякой кусочно-непрерывной функ­ ции h(x) интегральная форма

ь ь

 

J = jj § К {х, s) h (х) h (s) ds dx

(23)

a a

 

положительна (соответственно отрицательна).

Нетрудно показать, что необходимым и достаточным условием положительной (отрицательной) определенности ядра К (х, s) является условие, чтобы все его собственные

значения Хр были положительными (отрицательными).

ь

Действительно, функция / (х) = $ К (х, s) h (s) ds по тео-

а

реме Гильберта —Шмидта

представляется равномерно схо­

дящимся на [а, b] рядом:

 

 

Ь

со

 

f ( x ) = ^ K ( x , s) h (s) ds = 2 £ ФР (*)•

(24)

Умножая обе части этого равенства на h (х) и интегрируя результат (по х) по отрезку [а, Ь], получим

Ь b

со

9

 

J = jj J К (х,

s) h (s) h {х) ds dx= ^

Г '

(25)

Следовательно, если все с. з. kp положительны (отрица­ тельны), то и форма (23) положительна (отрицательна). Если форма (23) положительна для всякой кусочно-непре­ рывной функции h(x), то для h (х) = ц>п (х) формула (25) дает

ь ь

^ jj К (х, s) ц>п (s) cp„ (х) ds d* = ln-

а а

Следовательно, Хп> 0. Аналогично для отрицательной формы. Для положительно определенных (отрицательно определенных) ядер справедлива

253

Т е о р е м а 5. Если ядро К(х, s)

положительно (отри­

цательно)

определенно и непрерывно по совокупности пере­

менных х,

s в квадрате а^сх, s ^ b ,

то оно определяется

равномерно сходящимся рядом

 

 

со

К(х,

s)

V Ф;> (*) Фр Is)

Хр

 

 

 

 

Р= 1

где срр и Хр— собственные функции и собственные значения этого ядра.

Мы не будем проводить доказательство этой теоремы *). Следует отметить, что все теоремы и факты, относя­ щиеся к уравнениям Фредгольма, описанные в этой главе и в § 5 гл. IX, справедливы также для произвольных самосопряженных операторов А и, в частности, для мно­

гомерного случая и притом для ядер вида

К(Р, Q) = Я (Р, Q)/\ PQ |а, a < d / 2,

где Я (Р, Q) — непрерывное ядро, | PQ \— расстояние между точками Р и Q, d — размерность пространства*).

§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных на бесконечном промежутке

Мы рассмотрели интегральные уравнения с конечным промежутком (областью) интегрирования [а, Ь]. Для ин­ тегральных уравнений с бесконечным промежутком интег­ рирования изложенные выше результаты, вообще говоря, не имеют места. Так, для симметричных ядер, заданных в ограниченной области, были установлены следующие факты:

1)спектр такого ядра дискретный;

2)спектр невырожденного ядра бесконечный;

3)каждому собственному значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций.

Для симметричных ядер, заданных на бесконечном промежутке, эти утверждения, вообще говоря, уже не­ верны, как показывают приводимые ниже примеры.

*) См.

П е т р о в с к и й И.

Г., Лекции по теории интегральных

уравнений,

изд. 3-е, «Наука»,

1965.

254

П р и м е р 1.

Уравнение

 

 

СО

 

 

ср (х) = X ^ sin (xs) Ф (s) ds

(26)

 

о

 

имеет лишь два

собственных значения: Xi — Y^Tn,

Х2 = — |'/ 2/я,

и каждому из них соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных функций.

 

Для

доказательства

этого воспользуемся

известными формулами:

 

 

 

 

 

 

 

 

sin (xs) е as ds =

х Y п/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

s sin (xs) ds — я e~ax,

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

x >

0

и a >

0.

Складывая и

вычитая

эти формулы, получим

^

sin (xs)

Y

\

 

 

 

 

 

 

 

е~ах^

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ sin (xs) I

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

Х1= |'А2/'я

и X2 =

— Г 2/л

суть собственные значе­

ния уравнения

(26),

а

 

 

 

 

 

 

 

Фх М = У

2

 

^

и ^ (х) = ] / 2

^

при любом значении параметра а — отвечающие им собственные функ­ ции. Функции ф1 (х) (равно как и функции ф2 (х)), отвечающие раз­ личным значениям параметра а, очевидно, линейно независимые. Сле­ довательно, каждому из собственных значений и Х2отвечает бесконеч­ ное множество линейно независимых собственных функций. Теперь пока­ жем, что уравнение (26) не имеет других собственных значений. Для этого в правую часть уравнения (26) подставляем ф(з), определяемое этим уравнением. Получим

О 0

СО

ф (х) = X2 ^ sin (xs) ^ sin (s/) ф (/) dt ds.

оо

Сравнивая эту формулу с интегралом Фурье

 

СО

Ф (*) —

^ sin (st) ф (0 dtds,

 

о

находим, что X2 = 2jn.

П р и м е р 2. Рассмотрим уравнения вида

ОО|

 

Ф (х) = X

^

Н { х —

s ) ф (s) ds,

 

 

(27)

где Н (г) обладает следующими свойствами:

z Э-- 0;

 

 

 

1) непрерывна и положительна для

всех

 

 

что интег-

2) существует такое положительное

число

А (Л <;со),

ОО

 

 

 

 

 

 

 

 

рал ^ Н (г) ch аг dz сходится для всех положительных

а,

меньших А

о

и расходится для

а =

Л.

 

 

 

 

 

(а < А),

 

 

и

с.

ф. Будем

Для

такого уравнения

можно найти все с. з.

искать решение в виде ц>(х) = еах. Подставляя эту функцию в урав­ нение (27), получим

X

СО

еах = Х

Н ( х — s)easds + X^ H ( s - x ) e n s ds,

— со

X

или, после замены переменной интегрирования (х —s = z в первом интеграле и s — x = z во втором),

е“* = Ц

Я (2)е«'*-*> dz + Ц

Н (г) еа,х+г' dz,

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 2Х

,Н (г) ch az dz.

 

 

 

Таким образом,

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

 

/

03

 

 

V 1

 

(28)

 

Л, (а) = ! 2 (

Я (г) ch аг dz

 

 

 

 

 

\

о

 

 

 

 

 

функция (р(х) = еах, где а < Л ,

будет решением уравнения (27), т. е.

его собственной

функцией, отвечающей собственному значению X =

= Х(а).

находим, что

для

а < Л функция е ах также будет

Аналогично

собственной функцией

уравнения

(27),

отвечающей

тому

же собст­

венному значению Х = Х (а) = Х (— а).

 

 

X (а),

определя­

Поскольку ch az

монотонно возрастает по а, то

емое формулой

(28),

монотонно

и непрерывно

убывает в интервале

0 г = ; а < Л от значения

Х,(0) =

/

“

 

у 1

до значения ЦЛ) = 0.

|2 ^

H,(z)dz\

 

 

 

 

\

о

 

/

 

 

 

Таким образом, каждому значению J.S [0, А,(0)] соответствует вполне определенное значение а (а 0), определяемое из формулы (28),

аследовательно, и решения уравнения (27), равные

С^ + С^Г1**,

где

СТ и С2

—произвольные постоянные.

Собственному значению

X (0)

отвечает

решение

 

 

 

 

Ф (х) = Нт

еа х __е ~ а х

х,

 

 

2а

 

 

а-*о

 

в чем легко убедиться и непосредственной подстановкой.

256

/

00

\-1

Если X >

2 ^

Я (z) dz) , то надо искать решение в виде е Ь,Р*.

\

о

/

Тогда подстановкой этих функций в уравнение (27) находим, что

значениям ^ = 7,(ф) = Х(— ф), где

 

 

 

X (ф) = Х ( -

ф) =

— -------------------- >

 

-------- ,

 

 

2 ^ Н (z) cos az dz

2 ^

Н (z) dz

 

 

о

 

 

о

 

сявечают вещественные решения уравнения (27) cos Рд: и sin fix.

Таким образом,

спектр уравнения (27) сплошной: все неотрица­

тельные X являются

его

собственными

значениями. Так, если взять

уравнение

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф(х) = Х ^

е 1ж

s 'ф (s) ds,

(29)

 

 

— СО

 

 

 

 

то здесь H(z) = e~z,

Х(а) = 0,5(1—а 2),

А.(0) = 0,5 и А = 1.

Следовательно,

для X <= (0;

0,5) решениями уравнения (29) будут

функции

для

^= 0,5—функция у(х) =

х, а для Х > 0,5 —

функции cos (У2Х— 1 х)

и sin (|/"2Л,— 1 х), так как Х.(ф) = 0,5 (1 + Р2)-

Мы не рассматривали

здесь

с и н г у л я р н ы е интег­

ральные уравнения,

имеющие многочисленные приложе­

ния. Читателя, интересующегося такими уравнениями, отсылаем к специальной литературе*).

*) М и х л и н С. Г., Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники, Гостехиздат, 1949. М у с х е л и ш в и л и Н. И., Сингулярные интег­ ральные уравнения, «Наука», 1968.

9 В. Я. Арсенин

Смотрите также файлы