Г л а в а XII
ПОНЯТИЕ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ.
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач
1. Будем рассматривать задачу нахождения решения уравнения Ах = и, в котором оператор А и правая часть и известны.
Различают корректно поставленные и некорректно по ставленные задачи. Впервые эти понятия ввел в рассмот рение Жак Адамар.
Задача определения х (решения) из множества F по «исходным данным» и из множества U, x = R(u), назы вается корректно поставленной на множествах (F, U), являющихся метрическими пространствами с расстояни
ями |
pF(xly х2) и |
ри(и1у «2). где хъ x2<=F, |
ult u2^ U , |
если |
удовлетворяются требования: |
решение х |
1) |
для всякого |
элемента и <= U существует |
из А; |
|
|
|
2)решение определяется однозначно;
3)решение должно непрерывно зависеть от входных
данных, т. е. для всякого |
е > 0 можно |
указать такое |
8(e), |
что если |
рц(ии и2) ^ 8 |
и х1 = /?(«1), |
x2 = R(u2), то |
рЖх1( |
A2)sg;e. |
Свойство 3) |
называют также |
свойством |
устойчивости задачи. |
|
|
требова |
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным |
ниям, |
называются некорректно поставленными. |
|
Ниже приводятся примеры некорректно поставленных задач, представляющих как основной математический аппа рат, так и приложения, позволяющие судить о широте этого класса задач и о его прикладном значении.
П р и м е р 1. Интегральное уравнение Фредгольма пер вого рода со сколь угодно гладким ядром К (t, у) (даже аналитическим):
ь |
|
|
\K {t, у) х (у) dy — u (t), |
c ^ t ^ d . |
(1) |
Решение ищется в классе непрерывных функций (F). Укло нение правой части и (t) будем оценивать в метрике La, а уклонение х (у) — в метрике С, т. е.
ру (ulf ы2) = |
! «1 (/) - |
«2 (t) |2 dt |
Pf {xu х2)= |
sup |
\х1( у ) - х 2(у)\. |
»е[а, |
b] |
части u — Ux (t) функция |
Пусть для некоторой |
правой |
Хх (у) является решением уравнения (1). Если вместо функ ции иг (t) нам известно лишь некоторое ее приближение, мало отличающееся (в метрике Ь2) от иг (t), то речь может идти лишь о нахождении приближенного к х± {у) решения уравнения (1). При этом правая часть и (t) может не обладать достаточной гладкостью. Она может быть полу чена в эксперименте, например, с помощью самописца и иметь угловые точки. При такой правой части уравне ние (1) не имеет решения, так как ядро K(t,y) является гладкой функцией. Следовательно, в качестве приближен ного к Хх(у) решения уравнения (1) нельзя брать точное решение уравнения (1) с приближенно известной правой частью и (t) Ф иг (t). В этих условиях не выполняется тре бование 1) корректности задачи. Возникает принципиаль ный вопрос: что надо понимать под приближенным реше нием уравнения (1) с приближенно известной правой частью? Кроме того, задача (1) не обладает свойством устойчивости, т. е. не выполняется требование 3) коррект
ности задачи. В самом |
деле, |
функция |
х2 (у) = лц (у) + |
ф В sin иг/ будет решением уравнения (1) |
с правой частью |
|
|
ь |
|
|
ы2 (t) ~ «! (/) + |
В J К (t, у) sin соу dy. |
|
|
а |
|
|
Очевидно, каково бы ни было число В, при доста |
точно больших |
значениях со уклонение |
|
|
и2) = \В $ |
\K (t, |
|
1/2 |
ру (Mi, |
у) sin а>у dy dt |
можно сделать сколь угодно малым, в то время как для соответствующих решений хх (у) и х2 (у)
рИ*ъ х2) — sup | В sin щ | = | В j. */е[а, fc]
Таким образом, задача (1) является некорректно постав ленной. К таким уравнениям приводятся многие задачи физики и техники, например задачи спектроскопии (опре деление распределения плотности энергии излучения по спектру по результатам измерения экспериментального спектра), обратные задачи астрономии и другие.
Описанная в примере 1 ситуация является типичной для некорректно поставленных задач.
П р и м е р 2. Задача численного дифференцирования функции u(t), известной приближенно. Пусть Xi{t) есть производная функции Ux(t). Функция ц2 (0 = «i (0 + S sin (ot в метрике С отличается от Ui(t) на величину рс (щ, щ) = \В \ при любых значениях со. Однако
производная x2(t) — u2(t) отличается от x-i(t) в метрике С на вели чину |со£Н, которая может быть произвольно большой при доста точно больших значениях со.
|
Таким |
образом, |
эта задача не обладает свойством устойчивости |
и, следовательно, является некорректно поставленной. |
|
П р и м е р 3. |
Численное суммирование рядов Фурье, когда коэф |
фициенты |
известны |
приближенно |
в |
метрике /2. Пусть |
/у (t) = |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
ап cos nt. |
Если |
вместо ап |
брать |
коэффициенты сп = |
ап -\- — |
п = о |
|
|
|
|
|
|
00 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
1 и с0 — а0, |
получим ряд |
/2(0 = |
2 cnCosnt. Коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
п —О |
|
этих |
рядов |
отличаются |
(в метрике 12) |
на величину |
|
{п —I
которую выбором числа е можно |
сделать |
сколь угодно малой. Вместе |
|
|
00 |
|
|
с этим разность |
f2 (t) — fi(t) = e |
^ |
— cos nt может быть сколь угодно |
большой, а при |
|
п = 1 |
расходится. Таким образом, |
< = 0 последний |
ряд |
если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда Фурье не является устойчивым.
П р и м е р 4. Задача |
Коши для |
уравнения Лапласа в двумерном |
случае (пример Адамара). |
Она состоит в нахождении решения урав |
нения Аи(х, у) = 0 по начальным данным, т. |
е. в нахождении реше |
ния, удовлетворяющего условиям |
|
|
|
ди |
. . |
|
и{х, О) = /(*), |
ду (/-О= гр (X), |
— СО< X< со, |
где f (х) и ср (х) — заданные функции.
Если положить fx (х) = 0, Фт (х) = |
sin ах, |
то решением задачи |
Коши будет функция иг (х, у) = |
sin ах • sh ay |
(о > 0 ). |
Если положить W = <P2 W = |
0, то решением такой задачи Ко |
ши будет функция и2(х , у) |
0. |
|
|
|
Если уклонения начальных данных и решений оценивать в мет |
рике С, то будем иметь |
|
|
|
|
Рс (fi> fi) = |
SUP I fi (x) - |
fa (x) [ = 0, |
|
X |
|
|
|
Pc (<Pt. Фа) = |
sup i ф! (x) —ф2 (x) ! = 1la. |
|
x |
|
|
|
Последняя величина при достаточно больших значениях а может быть сделана сколь угодно малой. Однако уклонение решений
Pc (“к |
“2)= |
sup |
| ^ |
(х, |
у) — и2 {х, у) | = |
|
|
|
|
|
|
х\ у ^ О |
|
|
|
|
|
|
1- sin ах ■sh ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
sup |
0 |
sh ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
х; у > |
а2 |
|
|
|
может |
быть произвольно большим |
при достаточно больших значени |
ях числа а. Таким образом, эта задача |
не обладает свойством устой |
чивости и, следовательно, является некорректно поставленной. |
П р и м е р |
5. |
|
Задача |
аналитического |
продолжения |
функции, |
известной на части области, на всю область. |
|
|
|
Пусть |
D — конечная |
область,' |
£ — замкнутая подобласть, при |
надлежащая |
области |
D. |
Тогда задача |
аналитического |
продолжения |
функции, заданной на множестве Е, |
|
на всю область D является |
неустойчивой и потому некорректно поставленной. В самом деле, |
пусть |
г0— точка |
|
на |
границе области |
D, расстояние которой до Е |
равно |
d > 0. |
Пусть /у (г) — аналитическая в D |
функция, ограничен- |
ная по модулю. |
Функция |
|
|
|
|
g |
|
|
|
(2) = fi (2) Н---------- > где 6 — заданное по- |
ложительное число, также аналитична |
г — г0 |
На множестве Е эти |
в |
D. |
функции |
отличаются |
одна от другой |
на величину е/(г — г0), модуль |
которой на Е не превосходит г/d, т. е. |
| /2 (z) — /у (z) [ гс г/d. |
Величина |
e/d может |
быть сделана произвольно малой путем выбора |
соответст |
вующего |
значения |
числа |
е. Однако в области |
D разность функций |
/2 (z) — f1(z) = |
e/ ( г — z0) не ограничена |
по модулю. |
|
|
Некорректно поставленной является также задача |
решения |
системы |
линейных |
алгебраических |
уравнений |
в условиях равного нулю определителя системы (плохо |
обусловленные системы) и многие другие. |
|
|
2. |
|
Широким классом некорректно поставленных задач, |
возникающих |
в физике и технике, |
являются так |
называ |
емые обратные задачи. К ним относятся задачи определе ния физических величин по результатам измерения их проявлений.
