Файл: Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf

Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется элементом Хт (функцией, вектором), принадлежащим много­ образию F (хт^-F). Часто Хт недоступен для прямого изучения и изучается некоторое его проявление Ахт = ит, u t ^.AF, где AF — образ множества F при отображении, осуществляемом оператором А. Очевидно, уравнение Ах = и имеет решение, принадлежащее F, только для таких эле­ ментов и, которые принадлежат множеству AF. Элемент ит обычно получается путем измерений и потому известен нам приближенно. Пусть « — это приближенное значение. В этих случаях речь может идти лишь о нахождении приближенного (к хт) решения уравнения

При этом и, вообще говоря, не принадлежит множеству AF. Оператор А во многих случаях является таким, что обрат­

а) такого решения может не существовать, поскольку и может не принадлежать множеству AF (не выполняется требование 1) корректности);

б) такое решение, если даже оно существует, не бу­ дет обладать свойством устойчивости, поскольку обрат­ ный оператор А-1 не является непрерывным, в то время как условие устойчивости решения задачи (2) обычно является следствием ее физической детерминированности, и потому приближенное решение должно обладать этим

некорректно поставленной. Отсутствие устойчивости во многих случаях делает невозможной физическую интерпре­ тацию результатов измерений. Выполнение этого условия необходимо также для использования численных методов решения задачи по приближенным «исходным данным». Таким образом, для некорректно поставленных задач возни­ кает принципиальной важности вопрос: что надо понимать под приближенным решением таких задач? Если дан от­ вет на этот' вопрос, то возникает также задача нахожде­ ния таких алгоритмов построения приближенных решений

262

некорректно поставленных задач, которые обладают свойст­ вом устойчивости к малым изменениям «исходных данных». В основе возможности нахождения таких алгоритмов лежит идея использования различной дополнительной информации об искомом решении, позволяющей сузить класс допустимых функций (возможных приближенных решений) так, что задача нахождения приближенного решения в таком суженном классе Fx (Fx cz F) становится устойчивой к малым изменениям «исходных данных».

§ 2. Кратко о некоторых методах решения некорректно поставленных задач

1. Приближенные решения многих некорректно поста­ вленных задач вида (2) строились давно. Основным спо­ собом построения решений был метод подбора. Он состоит в том, что вычисляется левая часть уравнения (2) Ах для некоторого подмножества (набора) Fx элементов х, при­ надлежащих F, т. е. решается «прямая задача», — и в ка­ честве искомого приближенного решения выбирается такой элемент хх из Flf для которого невязка рц {Ах, и) мини­ мальна (на Fx). Обычно в качестве Fx выбирается семей­ ство элементов х, зависящих от конечного числа число­ вых параметров так, что Fx является замкнутым множес­ твом конечномерного пространства. Если дополнительно известно, что искомое решение хт е / д и w = ur, то в этом случае \п1ри {Ах, ит) — Ои достигается эта нижняя грань на точном решении уравнения Ах = ит■ При этом возни­ кает вопрос: если {хп} есть последовательность элементов,

что каждый параметр изменяется в конечных пределах, то Fx будет компактным и {хп} будет сходиться к Хт, т. е. метод подбора позволяет получить в этом случае прибли­ женное решение.

В других условиях метод подбора, вообще говоря, не годится для построения приближенных решений. Выяс­ нить условия применимости метода подбора можно, опи­ раясь на следующую топологическую теорему.

263

Поэтому, если подмножество Ft является компактным и отображение и = Ах непрерывно и взаимно однозначно, то из ри(Ахп, u r ) n следует pF (хп, хт)-+0 при «->

—>■о о .

Таким образом, если решение ищется на компактном множестве, то метод подбора устойчив и им можно поль­ зоваться для нахождения приближенных решений урав­ нения (2).

В 1963 г. А. Н. Тихонов разработал новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяю­

(не обладает свойством устойчивости) и вместо точного значения правой части итмы имеем элемент щ, для кото­

ратора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с точностью «исходных данных» и6. Эта согласованность должна быть такой, чтобы при при­ ближении правой части «б уравнения (2) к точному зна­ чению ит, т . е. при 6->0, приближенное решение стре­ милось бы к искомому точному решению хт уравнения

Ах = ит.

2. По Тихонову, в качестве приближенного решения уравнения (2) надо брать элемент ха — R («б, а)> получен­ ный с помощью регуляризирующего оператора R(u, а), где а = а (б) согласовано с точностью «исходных данных» «б и ри(чт, иб) б. Это решение называется регуляризованным решением уравнения (2). Числовой параметр а назы­ вается параметром регуляризации.

• ( Т и х о н о в А. Н., ДАН СССР 151, № 3 и 153, № 1 (1963).

264

Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации а, согласован­ ного с точностью «исходных данных» 8, а = а (8), определяет устойчивый метод приближенного построения решений уравнения (2).

Если известно, что ра(ит, и§)^_8, то, согласно опреде­ лению регуляризирующего оператора, можно так выбрать значение параметра регуляризации а = а (8), что при б ->-0

стве приближенного решения уравнения (2) регуляризован­ ное решение.

Таким образом, задача сводится:

а) к нахождению регуляризпрующих операторов; б) к оценке параметра регуляризации а по дополни­

тельной информации о задаче, например по величине уклонения правой части «в от ее точного значения.,

В математической литературе описанный метод постро­ ения приближенных решений называется методом регуляри­ зации.

3. А. Н. Тихонов указал и способ построения регуляризирующих операторов R(u, а). Он основан на вариацион­ ном принципе и состоит в следующем.

Пусть Q [х] —некоторый неотрицательный функционал, определенный на подмножестве Fx множества Е й такой,

что выбор функционала Q [х] неоднозначен. Пусть известно, кроме того, что хт е Fx и уклонение правой части «а от точного значения ит не превосходит б, т. е. ра(ит, Ыа) sg б. Тогда приближенное решение надо искать в классе Qa элементов х, для которых рЬ (Ах, и&)^82. Но это множе­ ство Qa не является компактным. Оно слишком широкое. Его надо сузить. Поэтому будем рассматривать только такие элементы множества Qa, на которых определен задан­ ный функционал П [х], т. е. будем рассматривать лишь элементы множества F2 = Qa П Fx.

Среди элементов этого множества найдем такой (такие), который минимизирует функционал П [х]. Задача нахожде­

265

Пусть ха—элемент, на котором функционал Ма дости­ гает минимума. Элемент ха можно рассматривать как ре­ зультат применения к правой части и — щ уравнения (2) некоторого оператора Rlt зависящего от параметра а, т. е.

xa = Ri{u&, а).

Для широкого класса уравнений (2) А. Н. Тихонов показал*), что оператор Ri(u, а) является регуляризирующим, и, следовательно, в качестве приближенного реше­ ния уравнения (2) с правой частью и = иа можно брать элемент

задачи (2) берется решение другой задачи (задачи на минимум функционала Ма), «близкой» в некотором смысле к исходной (поскольку число а мало).

Следует отметить, что, в то время как исходная за­ дача (2) не обладает свойством устойчивости, задача мини­ мизации функционала Ма [и, х] обладает устойчивостью к малым изменениям «исходных данных» и. Устойчивость (при переходе от задачи (2) к задаче минимизации функ­ ционала Ма) была достигнута с помощью введения в рас­ смотрение функционала й[х]. Он играет, таким образом,

№3 (1 9 6 4 ).

266