случае условие равенства нулю первой вариации функ ционала Ма [и, х] имеет вид
И_аЩ 91(5) £-]-<7°(s)*(s)}+
+(s, у) х (у) d y -B (s)jv (s) dsJr aq1(s) x' (s) v (s) \ba = 0. (6)
Здесь v (s) — произвольная вариация |
функции x(s) такая, |
что x(s) и x(s) + u(s) |
принадлежат |
классу |
допустимых |
функций |
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
К (s, у) = )‘К (t, s) К (t, |
у) dt, |
В (s) = $ К (t, |
s) и (t) dt. |
(7) |
|
C |
|
|
C |
|
|
Условие (6) выполняется, если |
|
|
|
|
, . dx |
|
ь |
|
|
|
|
|
jj/C(s, |
y) x (y) dy = В (s) |
(8) |
■“ { |
<?o(s)*} + |
|
|
|
|
|
|
|
<7i (s) У (s) v (s) 1 = 0 . |
|
(9) |
Так, если нам известны значения искомого решения x(s) уравнения (6) на одном или обоих концах отрезка [а, b], то допустимыми функциями при нахождении мини мума функционала М“ [и, х] можно брать лишь функции x(s), имеющие обобщенную производную, интегрируемую вместе с ее квадратом, и принимающие заданные значе ния на этих концах. В этом случае функции v (s) обра щаются в нуль на этих концах и условие (9) выполня ется.
В описанном случае задача нахождения регуляризованного решения xa (s) сводится, таким образом, к нахож дению решения интегро-дифференциального уравнения (8), удовлетворяющего условиям
x(a) = xlt |
х(Ь) — хг, |
(10) |
где хг и х2 — известные числа. |
на концах s = а |
Если значения искомого |
решения х (s) |
и s = b неизвестны, то условию (9) можно удовлетворить, полагая
х’ (а) = х' (6) = 0. ( И )
В этом случае в качестве регуляризованного решения уравнения (5) надо брать решение уравнения (8), удов летворяющее условиям (11).
Возможны, очевидно, и другие краевые условия, кото рым должно удовлетворять решение уравнения (5), напри
мер условия вида |
|
|
х (а) = хг |
У (b) = 0 |
(12) |
х' (а) = 0, |
х(Ь) = х2. |
(13) |
З а м е ч а н и е . Искомое решение уравнения (5) |
может |
не удовлетворять условиям (11), которым мы подчиняем решение уравнения (8). Надо иметь в виду, что мы строим приближенное решение уравнения (5). Если производная искомого решения уравнения (5) нам известна, например,
при s = a и равна g, то, |
полагая в уравнении (5) x(s) = |
= x(s)Jr g-s, получим |
уравнение такого же вида (но |
с другой правой частью) для функции x(s). Искомое реше ние х (s) будет удовлетворять условию х' (а) = 0.
Задача (8), (10) или (8), (11) решается численно на ЭВМ. При этом уравнение (8) заменяется его конечно разностной аппроксимацией на заданной сетке.
Если брать равномерную сетку с шагом h, то уравне ние (8) заменяется системой конечноразностных уравне ний вида
~~ ~fp \Qi , k-\Xk-i + Qi, k+iXk+i — (<h, k + |
<7i, fc-i)x k — h2q0t kx |
-f- |
|
+ |
2 Kii^Xr = Bk, k = 1,2, |
..., n, |
(14) |
|
|
r = о |
|
|
|
Здесь |
k ~Qi(sk)j |
Qo, и Qo(s^)» |
B^ = В (s^), |
s# — k ■/z, |
s0 = a, |
slt = b, Kk, r— коэффициенты |
интеграционной фор |
мулы, по которой интеграл в уравнении (8) заменяется интегральной суммой. Если искомое решение уравнения
(8) должно удовлетворять краевым условиям (10), то
полагаем в системе |
(14) х0 — хх и хп = х2. |
Если же |
искомое |
решение подчинено условиям (11), |
то |
в системе |
(14) |
число k |
должно принимать значе |
ния |
&= 0, 1,2, ... , |
п. |
При |
этом полагаем x_i = x0 и |
Хп+1 Хп.
Мы описали сведение уравнения (8) к системе линей ных алгебраических уравнений при нахождении решения на равномерной сетке с шагом- h.
Иногда целесообразнее искать решение на неравномер ной сетке с узловыми точками sk и с не равными друг другу расстояниями между соседними узловыми точками hk = skn — sk и В этих случаях уравнение (8) аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений вида
_ a i 3l d L |
I Qi, к-1 „ |
Ql. к |
+ |
?i. к-i |
Хк\ + |
\ Ч |
nknk-i |
Ч |
hkhb. 1 |
|
+ |
a<7o, кХ'к + |
/■=0 |
rXr = В k . (15) |
|
|
|
|
|
Краевые условия для решения этой системы запишутся так же, как в случае равномерной сетки.
Ч а с т ь II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Специальные функции находят применения в широком круге задач. В части II мы изложим основные свойства
ипростейшие приложения цилиндрических, сферических
игипергеометрических функций, интегралов Эйлера (гам ма-функция и бета-функция), а также некоторых спе циальных полиномов. Все перечисленные функции, кроме интегралов Эйлера, являются решениями дифференциаль ных уравнений с особыми точками вида
4с ik М У'} - ЯМ У= 0.
в которых коэффициент k (х) обращается в нуль в одной или нескольких точках промежутка изменения перемен ной х, конечных или бесконечных.
Г л а в а XIII
ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
§1. Гамма-функция и ее свойства
1.Гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второг рода) называется функция
|
СО |
|
T{z)=\e-4z-4t. |
(1) |
|
о |
|
Она обладает следующими свойствами. |
|
С в о й с т в о 1. Г (г) |
определена и непрерывна в обла |
сти R e a > 0 . |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим замкнутую |
область |
£> {0 < S =sc Re г «г; А}, где <5 и N —произвольные фик
сированные числа. Для всех |
г е О |
выполняются нера |
венства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
tz~'e~l | |
e~4N~ x для |
1 |
sg; t < оо. |
|
Следовательно, функция |
|
|
|
|
|
|
/(*) = |
tN~хеч , |
1 < |
t < |
оо, |
|
является |
мажорантной для | tz ге *| |
на промежутке О |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
< оо для всех г е й . Поскольку |
|
интеграл |
\f(t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 |
СО |
|
|
|
|
|
ОО |
= ^t&~*dt-}-^tN~le4 dt |
сходится, |
то |
|
интеграл^ t^e ^d t |
0 |
1 |
|
|
|
|
_ |
о |
сходится равномерно относительно z<=D. Отсюда следует, что Г (г) определена и непрерывна *) в области D, а тем
самым, ввиду |
произвольности |
б и |
N, и в области 0 < |
< Re г < оо. |
2. |
Г (г) аналитична в области R ez > 0. |
С в о й с т в о |
Для доказательства этого свойства достаточно пока |
зать, что интеграл |
^T(z)dz, |
взятый |
по произвольному |
|
|
с |
|
|
кусочно-гладкому замкнутому контуру С, лежащему в об
ласти D, |
равен нулю. |
Тогда по теореме Морера**) Г (г) |
будет аналитической |
в |
области |
D, |
а |
следовательно, и |
в области R e z > 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
$ Г (г) dz ■ |
г ге t dt\dz = |
|
|
|
|
|
с Щ |
|
|
|
|
|
|
|
так как |
по интегральной |
теореме |
Коши**) |
|
|
|
|
5 f - 1 dz = 0. |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
*) Ф и х т е н г о л ь ц |
Г. |
М., Осноьы математического |
анализа, |
т. II. Изд 5-е. «Наука», 1968. |
А. и Ш а б а т |
Б. |
В., Методы |
теории |
**) Л а в р е н т ь е в |
М. |
функций комплексного |
переменного, «Наука», |
1973. |
|
