Перемена порядка интегрирования здесь законна, так
00 |
|
dt сходится равномерно для |
_ |
как интеграл $ |
|
z ^ D . |
о |
3. |
Для всех z из области |
Rez > О |
выпол |
С в о й с т в о |
няется тождество |
Г (2 + 1 )= г Г (2). |
|
|
(2) |
|
|
|
|
Справедливость этого свойства устанавливается непо |
средственно путем интегрирования по частям: |
|
0 0 |
|
СО |
|
|
|
Г (г + 1) = 5 |
dt = —e-4z |” + z $ |
|
dt = |
|
О |
|
о |
оо |
|
|
|
= |
о |
tz~le l dt = гГ (г). |
|
|
|
|
|
Применяя последовательно тождество (2), находим |
формулу |
|
|
|
|
|
Г (г) = |
Г(г + ,г + 1) |
|
■ • |
(3) |
v |
7 |
г (г + 1) ••• (г -+- п — 1) (г |
п) |
v 7 |
С в о й с т в о |
4. |
Функцию Г (г) с-помощью формулы (3) |
можно аналитически продолжить на всю плоскость пере
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менной z, кроме точек г = 0, |
—1, —2, |
—п, |
в ко |
торых Г (г), |
очевидно, |
имеет полюсы |
первого |
порядка |
с вычетами, |
равными |
|
|
|
|
|
|
|
Re Г (—/г) = (—1)п/п\. |
|
|
|
Действительно, |
правая |
часть формулы (3) |
есть функ |
ция, аналитическая |
всюду |
в |
полуплоскости |
Re(z + n + |
+ 1) >0, кроме точек |
г0 = 0, |
zx = —1, |
..., zn = — n. Эту |
функцию и принимаем в качестве аналитического продол жения функции Г (г) на полуплоскость R e z > —(л+1). Поскольку число п можно взять произвольным, свойство
4доказано.
Св о й с т в о 5. Г(я4-1) = п!.
Непосредственным вычислением находим |
Г (1) = 1. |
Тогда из формулы (3) получаем |
|
|
Г (л + 1) = |
п\. |
(2:) |
Таким образом, Г (г) можно считать распространением факториальной функции на произвольные комплексные числа.
С в о й с т в о 6. Имеет место соотношение
Г (г) Г (1 — z) = л/sin nz. |
( ) |
|
4 |
З а м е ч а н и е . Нам достаточно установить справедли вость свойства 6 для г = х, где 0 < х < 1 . Тогда по тео реме единственности аналитических функций оно будет верным для всех г.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
со |
оо |
г (х) = 5 |
dt, Г (1- *) = $ т - dr. |
о |
о |
Следовательно,
ООсо
Г( * ) Г ( 1 - х ) = jj
о 6
Произведя замену переменных интегрирования в этом интеграле по формулам
получим |
|
t + x = l, |
т// = |
р, |
|
|
|
|
Р(5. |
Р) |
0 + Р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (t, |
т) |
t |
|
|
|
|
|
Следовательно, dt dr = |
|
^ |
|
Поэтому |
|
|
|
|
оо оо |
|
|
|
со |
|
|
я |
*) |
Г (х) Г (1 - х) = ij jj e ^ - l ^ d t # = |
\ - £ L |
|
|
sin тех |
|
|
о 6 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний |
интеграл вычисляется |
с |
помощью |
вычетов. |
Ч. т. д. |
|
Г (г) |
не имеет нулей. |
|
|
|
С в о й с т в о 7. |
|
|
|
Действительно, |
пусть |
г0 — нуль |
гамма-функции. Оче |
видно, z0 |
не равен |
ни |
целому |
отрицательному |
числу, |
ни |
нулю. Из формулы (4) |
находим |
|
|
|
|
|
|
Пт Г (1 — г) = Пт |
|
я |
|
со. |
|
|
|
Г (z) |
sin яг |
|
|
|
Z —*Z 0 |
|
|
Z —> Zq |
|
|
|
Таким |
образом, |
г0 |
есть особая |
точка для |
Г ( 1 —г). |
Но по свойству 4 особыми точками гамма-функции явля ются только целые неположительные числа. Следовательно,
1— z0 —— п, где п —целое и |
/г5г 0, а |
г0 = 1 -\-п. Тогда |
Г (z0) = Г ( « + ! ) |
= «! ФО. |
|
|
*) См. Л а в р е н т ь е в М. А. и Ш а б а т Б. |
В., |
Методы теории |
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», |
1973. |
миться |
при этом к ^ |
и — |
^ |
соответственно. |
Если мы |
докажем, |
что |
|
Y2 |
|
Yi |
^ , взятые по отрезкам |
интегралы |
^ |
и |
|
|
|
|
|
/l/2 |
^3^4 |
то лемма |
hh и UU, будут стремиться |
при этом к нулю, |
будет доказана. |
Оценим |
учитывая, что z = x-\-iy: |
|
|
|
|
|
tit, |
|
|
|
|
е Hz 1dt |
sS |
\ |
| e~4z-' \\dt\ = |
|
|
t^ |
|
tiU |
= e~a ^ \tz' l \\dt = e~a \ 1t \x~1e~y srst dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t i t г |
|
|
titi |
|
Так как |
\t |<2cc |
и arg^s^2n, |
to |
|
e~a |
\ |
\t\x-1e - y aTe t \dt\< e~a (2a)x-1e2n^ l\t2 — t1\. |
|
tit2 |
|
|
|
|
|
|
|
При |
всяком |
фиксированном |
z последнее произведение |
стремится |
к |
нулю |
при |
|
а |
оо. Таким образом, |
\e4tz~x dt-+ 0 |
при а - > о о . |
|
Точно так же доказывается |
Ut,
стремление к нулю интеграла по отрезку б^4. Лемма доказана.
Пользуясь этой леммой, мы можем взять в интеграле
Т7 ( z ) = еч$ ¥~г dt
Y
в качестве контура у контур, составленный из окруж
ности уо |
радиуса |
г с центром |
в точке |
t = 0 и из верх |
него |
и нижнего берегов разреза |
вдоль |
вещественной |
оси |
от г |
до |
оо: |
|
|
|
|
|
|
F (z ) |
= |
е~НгJ - 1dt - |
СО |
е~‘?~1 dt + |
|
СО |
|
$ |
|
е$4^ |
1 dt. |
|
Yo |
|
г |
|
|
|
г |
|
|
|
|
(верхи, берег) |
|
(нижн. берег) |
|
Интеграл F0(г) = |
^ e~4z~x dt |
является |
аналитической всюду |
Yo
функцией г. Действительно, F0(г) непрерывна во всей плоскости и интеграл § F0(?) dz=\) еч ^ tz~r dz dt, взятый
СУо С
по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру С, ра вен нулю. Поэтому по теореме Морера F0 (z) аналитична всюду.
Интеграл
Fx(г) = |
00 |
e~4z l dt |
$ |
|
Г |
|
|
(верхи, берег) |
|
можно записать в виде суммы двух интегралов:
|
|
|
1 |
00 |
|
|
|
|
г |
\ |
|
Интеграл |
$ е Ч* 1 dt |
не |
является |
несобственным |
и пред |
ставляет непрерывную функцию от г. Интеграл § |
е Чг 1 dt |
сходится |
равномерно в |
любой |
полосе — N ^ R e z ^ N , |
так как для всех t > |
1 выполняется неравенство | е'Ч^ 11^ |
|
|
СО |
|
|
|
^ е 4N~ l, а интеграл $ е HN~ { dt сходится. Следовательно,
|
оо |
1 |
интеграл |
§ е~Чг~1 dt |
также представляет непрерывную |
функцию |
переменной |
z в любой полосе — N sc; Re г sg; N, |
а тем самым и во всей плоскости переменного z. Отсюда следует, что функция Fx(г) непрерывна во всей плоскости переменной z.
Далее, с помощью теоремы Морера устанавливаем аналитичность всюду функции F1(z). Интеграл ^F1(z)dz,
С
взятый по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру С, равен нулю, так как tz~x является аналити ческой функцией от г и
|
|
со |
|
$ е Чг 1 dz\ dt-R] |
(\ ё Чг 1 dz\ dt = 0. |
с |
) |
1 |
\с |
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
СО
интеграл $ е Чг 1 dt сходится равномерно в любой полосе
