— N ^ R e z ^ N . Наконец,
|
СО |
|
СО |
|
F a (z) = |
$ |
ertt e~1 d t = <*’4* |
J |
e- t i z - i (jt = |
|
r |
|
r |
|
|
(нижн. берег) |
|
(верхи, берег) |
_ егл'гFx(2). |
|
|
|
|
Таким |
образом, F (2) = F0(2) -+-(е2я'г — 1) Fx(г) аналитична |
всюду. Поэтому для доказательства формулы (5) нам достаточно доказать ее для 2 = = х > 0 *).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Имеем |
|
|
F(x)=F0(x) + (e™i* - l) F 1(x). |
(6) |
Заставим |
уо стягиваться |
в точку. Тогда Fx (х) будет стре |
миться к |
Г (л:), a |
F0(x) будет стремиться к нулю, |
так как |
|
|
|
|
2я |
|
I ^0 ‘х) | ^ J | б~Чх~х [ | dt | sg |
jj e~rrx d(p rxe~r2n -*■ 0 |
|
To |
|
_ |
0 |
r^° |
|
|
(t = re'-v |
на Yo)- |
|
Следовательно, осуществляя |
предельный переход в соот |
ношении |
(6) при |
0, |
получим формулу (5). |
|
*) См. замечание к свойству 6.
С в о й с т в о 9. |
Из свойств 6 |
и 8 |
следует соотношение |
|
|
1 |
|
|
pinz |
г» |
|
|
|
|
|
пг+т1 = т |
V |
Р |
|
|
) |
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ sin (Я2 + Я) |
Г (- -*) = |
sin яг |
Г ( - г ) = |
|
Г (г+ 1) “ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е Ч z 1 dt - |
Г |
е Ч е 1 dt. |
|
2га' (е |
- й |
2я* |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
У |
|
На рис. 32 приведен график гамма-функции. |
2. Разложение функции Г (г) |
в ряд Лорана |
в окрест |
ности |
особой точки |
z = — п |
(я — целое, |
/гЗг 0) |
имеет вид |
|
Г « |
“ |
± |
Г |
1 7 Т 7 Г + « < г + |
' ,>. |
|
где Q (г + п) — степенной |
ряд |
по степеням z-\-n. |
Следова |
тельно, функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф( г ) = Г ( г ) - |
( - |
Ц" |
|
|
|
л!^ (z + л ) |
|
|
п = О
аналитична всюду, кроме г —со. Таким образом,
?( - 1)“
w- 2 |
л! (г+ я ) ■ф (г), |
п = 0 |
где ф(г) — целая функция. Так как
V |
си |
|
I |
|
я/ _ |
( - 1)" _ V ( - !)л С |
|
L n \ { z + n ) ~ L |
п\ |
3 |
|
|
/3 = 0 |
п—0 |
|
1 |
/ |
со |
|
|
- |
И |
|
(-1)* |
|
|
|
л! |
то |
|
Vi2=о |
|
|
|
|
|
|
|
Ф (г) = § |
tz ге 1dt. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
Г (г) = |
V |
Л__-с |
f tz~xe4 dt |
|
■ } |
— |
я! (г + я) |
|
|
/г = 0 |
|
|
1 |
Это представление гамма-функции справедливо для любых г.
3. Вместе с гамма-функцией часто используется ее логарифмическая производная
ф(а) = Г '(г)
Г(г) 1
Так как особыми точками Г (г) (полюсами) являются лишь точки z = — п, где п = О, 1, 2, и Г (г) не имеет нулей, то особыми точками ф (г) будут лишь точки z = — п, притом — полюсами первого порядка. Очевидно, лорановское разложение функции ф (г) в окрестности точки г = — п будет иметь вид
'H z)= -j^K + R (z + n)’
где R (z + п) — степенной ряд по степеням z-\-n. Вычисляя логарифмические производные от обеих час
тей тождеств (2) и (4), получим тождества
Ф(г + 1 ) = т + Ф ( * ) , |
(8) |
ф (1 — z) —ф (г) == л ctg яг. |
(9) |
Число С = — ф(1) называется постоянной Эйлера и равно
С= 0,57721566....
Многократное |
применение формулы (8) дает |
|
П |
|
Ф (п + 1) |
= — С+ ^ y , |
п = 1,2,... |
|
k=i |
|
§ 2. Бета-функция
Бета-функцией (или эйлеровым интегралом первого рода)
называется функция
1 |
|
В(х, y ) = ^ t* ~ i( \ - ty -1dt. |
(10) |
Произведя замену переменной интегрирования в этом интеграле по формуле
получим
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
В (х, у )= ^ (1 +и)х+У' |
|
|
(П) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Бета-функция обладает следующими свойствами. |
С в о й с т в о |
1. Функция |
В(х, у) определена и непре |
рывна |
в области Re х > |
0 по |
переменной |
х |
и в области |
Re у > |
0 — по переменной у. |
|
|
и у = у + io — |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть х —а + /р |
фиксированное |
число с |
у > 0 . |
Рассмотрим |
|
замкнутую |
область |
D6 == {0 < б ==s; Re х} |
изменения |
переменной х. |
Очевидно, для |
всех |
|
выполняется |
неравенство |
|
|
если |
|
Следовательно, |
функция |
/ (t) = tb~l (1 — 0 У~Х является мажорантной |
для |
подынтег |
ральной |
функции ^ 1(1—t)y 1 |
на промежутке |
|
для всех х <= Da и фиксированного у. Поскольку интеграл
5^ ( 1 - t y t - ' d t
о
сходится, то интеграл (10) сходится равномерно отно
сительно х е |
Dg. Отсюда |
следует, что В (х, у) определена |
и непрерывна (по х) в области Da, а тем |
самым и всюду |
в R e x > 0 . |
Доказательство |
свойства |
по |
переменной у |
проводится совершенно аналогично. |
|
|
в области |
С в о й с т в о 2. |
В (х, |
у) аналитична по х |
Re х > |
0, а по у — в области |
Re у > 0. |
|
|
|
Для доказательства этого свойства, например, по х |
достаточно показать, что для |
произвольного б > 0 и при |
любом |
фиксированном у |
из |
области |
R e y > 0 |
интеграл |
^ В (х, у) dx, |
взятый |
по произвольному |
кусочно-гладкому |
с |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
замкнутому |
контуру С, |
лежащему в области Da, равен |
нулю. |
Тогда |
по теореме |
Морера В (х, у) будет аналити |
ческой |
в области |
Da, а |
следовательно, |
и в |
Re х > 0. |
Для С cz Da имеем
5 В (х, у) dx = |
; t*-1(1 - ty -1 dt\dx = |
с |
|
