так как по интегральной теореме Коши \jtx~1dx = 0.
с
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
интеграл |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J t*-1(1 - ty-1 dt |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
сходится |
равномерно |
относительно х е £>б. |
|
0 и |
С в о й с т в о |
3. Для |
всех х |
из области Re х > |
любых у |
из области Re у > |
0 выполняется тождество |
|
|
В(х, у) |
Г (х) Г (у) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
Г (* + (/) |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(т) = \ t x^ { x - t y - 1dt, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
зависящую от |
х и у |
как |
от параметров. |
Ее можно |
рас |
сматривать как свертку функций |
tx~x и ty~x. |
|
Пре |
Е1айдем преобразование Лапласа этой функции. |
образования Лапласа функций t ^ 1 и ty l |
равны соответ |
ственно Т(х)/рх и Т(у)/ру. В самом деле, |
|
|
|
|
со |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
5 i"~1e~ptdt = -~i- |
\ r v e r f g = ^ |
- . |
|
(13) |
|
о |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
преобразование |
Лапласа |
свертки |
р (т) |
равно |
|
|
г (*) Г (у) _ |
Г Д ) Г (у) |
Т ( х + у) |
|
|
|
|
|
рх+У |
|
|
Г (х + у) |
|
рх+У ’ |
|
|
Тогда |
оригинал, |
т. е. функция |
р (т), |
будет, |
согласно |
формуле |
(11), |
равен |
|
Г (*) Г (у) |
|
+у |
|
|
|
|
|
Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т (х+ г/) |
|
|
|
|
|
Полагая |
здесь т = 1 , |
получим (12). |
|
|
|
|
Г л а в а XI V
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы будем рассматривать специальные функции, являющиеся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений вида
^ {k (х) у'} - q (х) у = О,
в которых функция k (х) обращается в нуль в одной или нескольких точках (конечных или бесконечных) и пред полагается дифференцируемой внутри рассматриваемых промежутков.
Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение
z2w" + zw' + (z2 — v2) w = 0, |
(1) |
в котором V —числовой параметр. Его можно написать, очевидно, в виде
-^{zffi/} + ( z - y ) t o = 0. |
(2) |
К такому уравнению мы придем, например, при реше нии задач, рассмотренных в ч. I, методом разделения переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными) координатами (задача о колебании круг лой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.). Так, пусть требуется решить задачу о малых поперечных колебаниях однородной круглой мембраны радиуса I, закрепленной по краям, под действием начального возму щения. Если использовать полярные координаты (г, ср), то искомая функция (отклонение) u = u(r, tp, t) будет решением следующей краевой задачи:
|
|
о2 Аи = ии, |
|
|
(Вх) |
и(1, ф, 0 = 0> |
| и | < с о , |
и (г, |
ф + 2я, |
f) = и (г, |
ф, t), |
(В2) |
«(г, ф, |
0) = /(/•, |
ф), |
щ{г, ф, |
0) = F(r, |
ф). |
(В3) |
Условие ограниченности | и [ <с со является естествен ным следствием физической постановки задачи, а условие периодичности по ф является Следствием условия одно значности решения. Для решения задачи (Е^) — (В3) при меним метод разделения переменных. Будем искать реше ния уравнения (Bj), удовлетворяющие только краевым условиям (В2), в классе функций вида
и = Ф (г, ф) Т (t).
Разделяя |
переменные, получим |
|
|
|
Г + |
А 'Р = 0, |
|
(В4) |
|
ДФ + ЯФ = 0, |
|
(В6) |
Ф(/, ф) = 0, |
| Ф | < о о , |
Ф(г, |
ф + 2зт) = Ф(г, |
ф). |
(В6) |
Задачу (В5) — (В6) также можно решать методом разделе |
ния переменных. Полагая Ф (г, |
ф) = Л(г)В(ф) |
и исполь |
зуя запись |
оператора Лапласа |
в полярных координатах, |
получим |
Л" + |
рЯ = 0, |
|
(В7) |
|
|
|
В (ф + 2я) = В(ф), |
|
(В8) |
|
г2Л" + ш4' + (Лг2- р ) Л = О, |
|
(В9) |
|
А (/) = 0, |
| Л | < со. |
|
(В10) |
Решение задачи (В7) — (В8) и возможные значения |
пара |
метра р легко находятся: |
|
|
|
|
|
\i = k2, |
k — 0, 1,2....... |
|
|
Bk (ф) = Си sin /гц>+ Dk cos &ф.
Таким образом, задача (B4) —(В3) сводится к нахождению решений уравнения (В9), удовлетворяющих условиям (В10).
Заменой |
г = ]/Х г уравнение (В9) |
приводится к уравне |
нию (1), |
в котором v2 = k2, |
w (z) = |
A ( \fк г). |
Решения уравнения (1), |
не равные тождественно нулю, |
называются цилиндрическими функциями. Изучение свойств цилиндрических функций и будет предметом рассмотрения этой главы.
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми |
точками |
в окрестности особых точек |
|
Рассмотрим уравнение |
|
Айх {k (х) у'} — q(x)y = 0, |
(3) |
в котором функция k (х) обращается в нуль в конечной точке х — а и в окрестности этой точки имеет вид
|
k (х) = (х — а)а ф (х), |
ф (а) ФО, |
а > О, |
причем функция ф (х) непрерывна |
в точке х = а и в ее |
окрестности. |
Пусть |
|
у1(х) = (х — а)ти1(х), |
и1 (а) Ф О, |
Те о р е м а . |
|
mSsO, |
есть решение |
уравнения |
(1) |
и иу(х) непрерывна |
в точке х = а |
и |
в ее |
окрестности. |
Тогда любое другое |
решение уравнения (1) у2 (х), |
линейно независимое с уу (х), |
в окрестности х = а имеет вид |
|
|
|
|
у2(х) = ф2 (х) + |
(х — аут~а'1 и2(х), |
если 2т ф а Ф 1, |
уг (х) = ф2 (*) + |
«2 (*) In (х — а), |
|
если 2т + |
а = 1. |
Здесь |
ф2 (х) и |
и2(х) ограничены |
в |
окрестности х = а и |
и2 (а) Ф^ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По формуле Остроградского для |
определителя Вронского имеем |
|
|
|
|
откуда |
У'± (х) уг (х) - у2 (х) у[ (х) = C/k (х), |
С ф 0 *), |
|
|
ф Гу* ] _ |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx уг \ |
k (х) у\ (х) • |
|
|
Интегрируя это тождество по отрезку [х, |
хг], |
а < х < х 1( |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уа (х) |
= Ух (х) |
У2 ( * l ) _ |
Р |
Cdt |
|
|
|
Ух (*i) |
0 k(t)y\(t) ‘ |
|
Здесь хг—такое фиксированное число, что на проме жутке [а, хх] функции ф (х) и иг (х) непрерывны и не обращаются в нуль.
|
Рассмотрим первый случай: уг (х) = |
(х — а)т иг (х). Тогда |
|
Уа(х) = у1(х) У2 (*2) |
|
dt |
|
(t— аф+а q>(0 «i (0 ' |
|
Ух (*i) |
|
Применим к этому интегралу теорему о среднем зна |
|
чении. Получим |
|
|
|
У2 (Хх) |
Сух (х) |
dt |
|
Ух (Хх) У х ( х ) |
Ф (li) “ i (li) |
S(t — a)2m+a ’ |
*) См. С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959.
или
„ /,Л. |
Уг(*1) /,Л |
| |
C « i(« )(* -a)m |
Уъ W |
Уг (*х) Ух W |
^ |
(2m+ а - 1) <р (У и\ (У |
Здесь x ^ li^ X x . Ii = ^x(-f). Таким образом,
где |
Уг (х) = Аг (х) ух (х) + |
Б, (х) (х - |
а)'1™ 1, |
|
. Уг (Xi) |
|
с |
|
|
Лх (х) = |
+ (2m + a - |
|
|
У1 (*i) |
1) (*х - a)*«+«-i <р (У и? (У ’ |
|
fiiW |
|
Сих (х) |
|
|
|
'(2 т + |
а — 1)ф(|х) и? (У* |
|
Поскольку Ах(х) |
и Вх (х) не имеют особенностей в точке |
х — а |
и Вх (х) не обращается в нуль |
на отрезке [а, хх], |
для |
первого случая теорема доказана. |
Во втором случае |
аналогичные вычисления приводят нас к следующему результату:
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Уг (*) = Аг (х) У\ (х) + |
Вг М In (х — а), |
|
|
Уг(х1) |
С In («х— a) |
^ ,.Л |
С |
|
|
|
|
|
Л |
(х) ■ У1 (*i) |
ф ( У <4 ( У |
Вг(х) = ф ( У |
« Н |
У ’ |
|
|
Х = ■ |
Xli |
= ё2 (*)• |
|
|
Поскольку функции А2(х) и В2 (х) не имеют особенностей |
в |
точке |
х = а и Вх(х) не обращается в нуль |
на отрезке |
[а, |
хх], |
теорема |
доказана и |
для этого случая. |
Пусть, |
в частности, ос=1, т. |
е. k (х) = (х — а) <р (х). В этих усло |
виях справедливо |
Если одно решение уравнения (1) |
ограни |
|
Сл е д с т в и е . |
чено и имеет вид ух(х) = (х — а)т и (х), где т ;>= 0, и (а) Ф О
и и (х) |
непрерывна в точке х = а и в ее окрестности, то |
любое другое решение уравнения (1), |
линейно независимое |
с ух(х), |
неограцичено в окрестности х = а и имеет вид |
Уг (х) = Фг (*) + |
(х — а)~т«2 (х), |
если |
т~> О, |
|
у2 (х) = ф2 (х) + |
м2 (х) In (х — а), |
если |
т = 0. |
Устанавливаемый этим следствием факт имеет сущест венное значение при постановке краевых задач для урав нения (3) на отрезке [а, Ь], один или оба конца которого являются особыми точками рассмотренного вида этого уравнения. Если по самому смыслу задачи требуется найти ограниченное на отрезке [а, b] решение ух(х), то, записывая общее решение в виде
У= Схух(х) + С2у2 (х),
