мы найдем одну из произвольных постоянных из условия ограниченности: С2 = 0. Таким образом, в таких случаях условие ограниченности играет роль краевого условия и потому его надо формулировать в математической поста новке задачи (как одно из краевых условий).
§2. Функции Бесселя и Неймана
1.Существует несколько классов цилиндрически
функций.
Внастоящем параграфе мы определим два класса:
функции Бесселя и функции Неймана.
Один класс цилиндрических функций мы построим следующим образом. Будем искать решение уравнения
|
|
z2w"-\-zw' + |
(г2 — v2) w — 0 |
|
(1) |
в виде обобщенного степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
® = za (tf0 + |
a1z + |
<v2 + ...), |
|
(4) |
где а0фО. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
zw' = 2а [а0о-ф аг (0 + 1) z + a2 (0 + 2) z2 + |
...], |
|
|
z2w" = z° [a0a (a — 1) + ax (a + |
1) oz + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Г a, (a -f- 2) ( a |
1) z2 + ...]. |
Подставим |
эти |
значения |
w, |
zw' и г2ш" |
в уравнение |
(1) |
и соберем члены с одинаковыми степенями: |
|
|
г0 [я0о2 — a0v2] + |
za+1 [ах (о + I)2 — ayv2] -ф |
|
|
|
|
+ г0+2 [а2 (о + |
2)2 - |
a2v2 + |
a0] + . . . |
|
|
|
... -ф 2а+л [а„ (о + |
п)2 - |
anv2+ a„_2] + . . . = |
0. |
Чтобы ряд |
(4) |
был решением уравнения |
(1), |
необходимо |
выполнение равенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 (сг2 — v2) = 0, |
аг [(ст+ I)2 — v2] = 0, |
|
а2[(о -ф2)2 - |
V2] -фа0= 0,..., а„ [(о + п)2 - |
v3] -ф ап_2= 0,... |
Из первого |
равенства |
находим a = ± v, |
так |
как а0 Ф 0. |
Возьмем 0 = V. |
Тогда |
из |
второго |
равенства находим |
ах = 0. Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая = 7 " Г а^ |
2 |
2 , |
|
п —2, 3,... |
|
|
|
п |
(ст + п)2—V2’ |
|
|
’ |
’ |
|
|
Так как o — v, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
а—
п(2v ф- п) п '
Очевидно
@2k+l — О
для всех целых неотрицательных k, а
п- ~ q2ft-2___________(—l)ftgp_________
2k 2*(v + k)k |
22* (v + £) (v + &— 1)... (v + 1) /г!' |
Полагая йо = gvp^qnj и используя формулы (2) и (2Х) предыдущей главы, получим
Со* = —; |
( |
- 1)* |
. |
2---- |
------------- |
22*+vr(/fe+ v + i)F ^ + i)
Таким образом мы построили формальное решение урав нения (1) в виде обобщенного степенного ряда
|
СО |
(-l)fe (z/2)afe+v |
|
|
у |
(5) |
|
v W L i |
Г (A + v + 1) Г (АН- 1) ’ |
|
|
|
или |
|
|
|
Jv (z) = zvPv (г), |
(6) |
|
где |
|
|
|
СО |
|
|
|
р ы _ V |
( - ! ) * ( Ф Г * |
(7) |
|
Z j |
2 * Г ( £ + 1 ) Г ( у + £ + 1 ) ' |
|
£ = 0 |
|
|
|
Эта функция является |
фактическим решением |
уравне |
ния (1) в области сходимости ряда (5). Легко проверить, пользуясь, например, признаком Даламбера, что этот ряд сходится всюду, кроме, может быть, z —0. Следовательно, функция Jv (2) является решением уравнения (1) всюду, кроме, может быть, г = 0. Эту функцию называют функ цией Бесселя порядка v (иногда — функцией Бесселя первого рода). Если У — нецелое число, то функция Бесселя неодно значна (из-за множителя zv). В этом случае, т. е. при v нецелом, однозначную ветвь функции Бесселя выделяют, ограничивая z областью, где | argz| <H, т. е. производя разрез вдоль отрицательной части вещественной оси. Для
целых v = п функция |
Бесселя определена всюду и одно |
значна. Очевидно, Jn(z) есть целая функция. |
З а м е ч а н и е . |
Так |
как члены ряда (5) суть целые |
функции |
переменной v |
и ряд сходится равномерно отно |
сительно |
v при |
каждом фиксированном г, то Jv(z) есть |
целая функция переменной v. Поскольку уравнение (1) не меняется при замене v на — v, то функция J_v(z) также
является |
решением |
уравнения (1). Если v не есть целое |
число, то |
функции |
Jv (г) |
и J_v (г) |
линейно независимы, |
так как одна из них |
в окрестности |
г = 0 ведет себя, как |
2V, а другая —как z~v. Поэтому для |
нецелых значений v |
общее решение уравнения |
(I), а следовательно и произ |
вольную цилиндрическую функцию порядка v, можно записать в виде
l)v (z) = Сг (у) J v (г) + С2 (v) J_v (z),
где Ci (v) и C2 (v) — постоянные, зависящие от индекса v. Если же v равно целому числу n(v = n), то
J_n(z) = (-1)» Jn(2).
Докажем это. Имеем
СО |
(—1)* (z/2)2*~n |
с о |
( - \ ) k (zftfk-n |
г /.ч V |
V |
L Г ( £ - п + 1 ) Г ( й + 1 ) |
L i |
Г (fe —n + 1) Г (fe+ 1)’ |
k—0 |
|
k=n |
|
поскольку Г (k — п + |
1) = оо для всех k = 0, 1, 2, ..., п — 1. |
В последней сумме произведем замену переменной сум |
мирования k = s-\-n. |
Получим |
1-п (г) = |
(_1)я+« (z/2)2s+« |
(-1 )" Jn(z). |
2 Г(*+1)Г(5+П+1) |
|
5= Г |
|
2.Таким образом,'для целых значений v (v = n) фун
ции J v(z) и J_v (z) линейно зависимые, и, следовательно, с их помощью нельзя получить общее решение уравне ния (2), т. е. произвольную цилиндрическую функцию порядка v. Чтобы получить для этого случая линейно
независимое с J v(z) |
решение уравнения (2), вводят в рас |
смотрение функцию Неймана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{8) |
Очевидно, она является решением уравнения (1). |
п |
Подстановка в |
формулу (8) |
вместо v |
целого числа |
дает |
справа |
неопределенность |
О |
|
. |
„ |
0 , так |
как sin л/г = |
О, |
J-п (z) = (—1)» Jn (г) |
и |
cos /гл = |
(— 1),(. |
Для таких значе |
ний |
v (v = /г) |
функция |
Неймана Nn (г) |
определяется как |
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nn(z) = Iim Nv (.г) —Jim J v (г) cos vji — J__v (г) |
|
|
|
V - * n |
|
\-+ п |
sin vл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедлива
Т е о р е м а . Функции Jv(z) и Nv(z) линейно независимы при любых значениях V.
Для доказательства теоремы вычислим определитель Вронского W[JV, Nv] для функций Jv (z) и Nv (z).
Для любых дифференцируемых функций / (г), cp (z), ф (z)
W[f, <p + y] = W[f, «р] + W[f, ф].
Поэтому |
W [JV, Nv] = ctgvnW [Jv, Д ] - |
^ 1Л» Д%-]- |
Так как |
W [Jv, Jv]==0, то для |
нецелых v |
|
|
W [JV, A/v] = sjnw |
W [J v, J_v]. |
(9) |
Для вычисления W [Jv, /_ v] воспользуемся формулой (5). Согласно этой формуле
|
|
Tv(z) = zv{oo+ 22Qv(z)}, |
(10) |
|
|
J_v (z)^z~v \b0 + z2Q_v (z)}, |
(11) |
где Qv (z) |
и |
(z) — степенные ряды по г. Следовательно, |
|
J'v (z)=vzv-'{a0 + z*Rv (z)\, |
(12) |
|
Г -у (г) = - |
vz"^1 {b0+ z2£_v (г)}, |
(13) |
где Rv(z) |
и R_v(z) — степенные ряды по г. |
|
Далее, по определению определителя Вронского |
|
гГ [Jv, J_v] = |
z Jv (г) |
J- v (z) |
|
|
|
J v (г) J - v ( z ) |
|
= z{Jv(z) JLV (z) — J’v (z) J_v(z)}.
Пользуясь формулами (10) и (11), находим |
|
zW [Jy, y_v] = — 2va„60 + z2Sv(z), |
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Sv (z) — степенной ряд. |
Согласно формуле Остроград |
ского (для |
определителя |
Вронского) |
для |
нецелых v |
i_ v]= C /z, |
где С —не |
равная |
нулю |
постоянная. |
Следовательно, |
zW[Jv, y_v] = |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
это |
соотношение |
есть |
тождество, |
то С = |
= {zW[Jy, |
/_Д}г_0. Пользуясь |
формулой (14), |
находим |
C = {zW[Jy, J-.v]}z-0 = — 2a0b0v.
