|
|
|
1 |
|
|
2V |
|
|
Так как |
а,0 ~~~ 2'Т (v+1) |
> ьп - г ;i—v)’ то |
|
|
|
|
|
|
С - |
|
—2v |
|
|
|
|
|
|
' Г ( v + 1) Г (1 —v) ■ |
|
|
Пользуясь формулами |
(2) и (4) гл. XIII, |
получаем |
|
|
|
|
|
Q — —2 sin уя |
|
|
Таким образом, |
для нецелых v |
|
|
|
|
|
W [JV, |
J-r] = —2я г -sinvn. |
|
|
Следовательно, |
согласно формуле (9) для нецелых v |
|
|
|
|
W[JV, Nv] = ~ . |
|
(15) |
Так |
как W [Jn, (V„] = lim W [Jv, (Vv], |
t o и з |
(15) еле- |
дует, |
что |
|
|
|
v-*n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V [ J „ i v „ ] = | r . |
|
|
Итак, |
определитель |
Вронского W (Vv, |
(Vv] |
не равен |
нулю |
для любых |
индексов v. Следовательно, |
функции |
J v (г) |
и Nv(г) линейно |
независимы при любых значениях |
индекса v. Теорема доказана. |
|
|
3. |
Поскольку |
Jv (z) |
и Nv (г) — линейно независимые |
решения уравнения (1) при любых значениях индекса v, общее решение этого уравнения, а следовательно и про извольную цилиндрическую функцию индекса v, можно записать в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yv (г) = СхJv (z) + |
C2Nv(z). |
|
|
Очевидно, |
к решениям Jv (z) |
и Nv (z) |
уравнения |
(1) при |
менимо |
следствие теоремы |
§ |
1, |
согласно |
которому |
в окрестности особой точки уравнения (1) |
г —0 функция |
Nv(z) ведет себя, как A/z^, |
если v Ф 0, |
и как Л In г, |
если v = 0. В частности, |
функция Неймана Nv(г) с индек |
сом vSsO |
неограничена |
в окрестности г = 0. |
|
4. Пользуясь представлением функций |
Бесселя в виде |
ряда (5), непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождеств
d \J у (2)1 |
./V; 1 |
2) |
|
± { z V v ( z ) } ^ z V ^ { z ) . (16) |
dz \ 2V ) — |
zv |
|
* |
|
|
Производя в этих формулах дифференцирование, получим
^ ( г ) = |
7 |
^ |
( г ) - |
J v , A z) |
( 17) |
и |
|
|
|
|
|
J'v { z ) |
^ |
J |
v (z) + |
J v^ { z ) . |
(1 8 ) |
Отсюда следует рекуррентная формула |
|
^ v + i (2) + J v - i (2) = -- J v (2) . |
(1 9 ) |
С использованием определения функций Неймана и соот ношений (17), (18), (19) непосредственно устанавливаются такие же соотношения для функций Неймана
|
|
|
Nv+i (2) + AVi (2) = у Nv (г), |
(20) |
|
|
|
N^z) = ^ N v ( z ) - N v+1(z). |
(21) |
Если |
v |
равно целому числу п, то по формулам (19) и |
(20) |
мы |
сможем последовательно выразить все функции |
Jn (z) |
и |
Nn(z) |
(п^г 0) соответственно через J0(z), |
Л (2) |
и N0(z), |
N1(z). |
Ввиду этого в таблицах приводятся лишь |
значения функций J0(z), Л (г); N0(z), N1(z).
Непосредственным суммированием ряда (5) устанавли
вается справедливость формул |
|
|
|
|
Ji/A?) = У |
sin2 и J _ i/i(z) = y |
*z cosz. |
Пользуясь этими формулами |
и рекуррентной форму |
лой (19), находим |
|
|
|
|
Jn+ L (2)= |
К ( т ) sin 2 + |
( т ) cos 4 |
V |
h ’ |
J„ n+L M = |
{/?«-! (y ) sin г - |
Qn (j ) |
cos 2} ] / |
J - , |
где Qn(p), Rn_t (p) суть многочлены |
степеней n и n — 1 |
относительно p. |
|
|
|
|
|
§3. Ортогональность функций Бесселя
1.Уравнение
х2у” + ху '+ (k2x2-v* )y = 0 |
(22) |
и Р суть корни одного из трех уравнений-.
или |
|
L w ] - * y + w x y = 0 |
(220 |
заменой переменной Ялг — г приводится к |
уравнению (2). |
Следовательно, функция Jv(Ях) является решением урав нения (22!). Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения для собственных функций в одномерном слу чае (k(x) = x, q (х) — \ 2/х) *).
Типичные краевые задачи для уравнения (22) состоят в нахождении таких значений параметра Я, при которых это уравнение имеет нетривиальное, ограниченное на заданном промежутке (0, /) решение, удовлетворяющее
краевому |
условию вида |
ау' (/) + by (I) = 0 на |
правом |
конце. К |
таким задачам |
относится, например, |
задача |
(В9) —(В10) этой главы. Это задачи типа задач Штурма — Лиувилля, рассмотренных нами в гл. IV. Возникает воп рос: не будут ли ортогональными на промежутке (0, I) решения уравнения (22j), удовлетворяющие краевым усло виям вида ау' (/) + by (I) = 0, т. е. функции Бесселя Jv(Kxx)
и Jv(X2x), |
в которых значения Ях и Я2 параметра Я, опре |
деляются |
из краевого условия ау' (1) -f by (I) = 0? При |
этом естественно ожидать ортогональности с весом р (х) =
= х, как это |
видно |
из уравнения (22!). Ответ |
на этот |
вопрос дает |
|
ортогональности). Функции |
Бесселя |
Т е о р е м а |
(об |
./,, (Ях) обладают свойством ортогональности свесом р (х) = х. Точнее, для всякого v > —1
о
где оба числа а
•М У) = 0, |
Jv(y) = 0, |
yJv(y) + hJv (y) = 0. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Напишем два тождества: |
|
|
i |
|
- т ) |
(U) = |
0, |
X ~ d h J v ^ |
+ i x J v ^ |
+ i ^ x — 7 ) J V О л д с ) = |
o . |
Первое из |
них |
умножим |
на |
/ v (рх), второе —на |
Jv (Xx), |
*) См. гл. |
IV, |
§ 3. |
|
|
|
|
затем вычтем почленно одно из другого и результат про интегрируем (по х) по отрезку [0, /]. Получим
i
^ х{Л (fix) Jx2 Jv (Xx) - |
Jv (lx) ~ |
Jv (px)} dx + |
|
0 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ § {Jv (n*) ^ Д (Xx) - |
Jv (Xx) dAx Jv (px)} dx = |
|
|
о |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(p2 — X2) |
$ x /v (Xx) Jv (px) dx, |
или |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
~dx{x Jv ^ |
Wx Jv № |
~ Jv (*■*) dx Jv (И*) } dx = |
|
о |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
—(p2 — X2) J x /v (Xx) Jv (px) dx. |
(23) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Произведя интегрирование, получим |
|
|
jx |
Jy (px) Ax Jу (Xx) |
Jу (Xx) Ax Jy (px) |
= |
|
|
|
|
|
(p2 — X2)jj xJv (Xx) Jv (px) dx. |
(24) |
|
Покажем, |
что |
при |
v > — 1 |
и X = a//, p = p/Z |
левая |
часть равенства (24) обращается в нуль. Для этого заме
тим, что, пользуясь формулой (5), |
Jy (Хх) |
и |
Jy (lx) |
можно записать |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
^v(Xx) = j ^ |
y + x''+2JP,W , |
|
|
(25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Рк (х) и СД (х) — степенные |
ряды. |
Используя |
эти фор |
мулы, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
xJy (px) j x Jy (Хх) - xJy (Xx) Ах Jy (рх) = |
|
|
|
|
(P*)v |
Xv+2/V (X) |
. |
(lx)V |
|
t.V+ 21 |
|
|
2'T(v+l) |
|
2'T (v+1) ' |
Q>, (x) |
( A x ) v |
XVl2P}, (x) |
. |
(P*)v |
|
k-Vt2. |
|
|
2VT (v+1) |
|
2'T (v+ 1) |
:Qn (x) |
|
|
|
x2v+4^ 2 (X), |
|
|
|
__ |
x2vi2^ (x ) + |
|
|
|
|
V l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Rx(x) |
и /?2 (х) —степенные |
ряды. При v > —1 послед |
нее выражение |
обращается |
в |
нуль для |
х = 0. |
Полагая |
в равенстве (24) |
Я = а //, р = |
Р/I, |
получим |
|
|
xJx |
X] Jх ■j х) dx = |
|
|
|
|
|
|
aJv (Р) да Jv (°0 “ |
P/v (“ ) йр |
(P)j |
(26) |
Из равенства (26) немедленно следует ортогональ ность при указанных выше значениях а и Р*).
2. Вычислим квадрат нормы |
Для этого |
воспользуемся формулой (26). Переходя в ней к пределу при P - va, получим
= Hm cj—xi [<*Jv ( P ) J'v (a) - pJv(a) J’v (P)].
P-*a P ~ a
Непосредственный переход к пределу в числителе и зна-
0
менателе дает Q .
По правилу Лопиталя находим
= |
[ * Л (а ) Jv (a) — |
Jv (a ) Jv(a) — ocJv(a) Jv (a)]. |
(27) |
Далее |
из тождества |
|
|
|
|
z4y (г) + zJv (г) + |
(г2 - v2) Jv (2) = 0 |
|
находим |
|
|
/ |
|
|
|
~ J v |
H |
= ^ |
J v ( « ) |
+ ( 1 - J ) -/v(a). |
|
*) |
Для третьего |
случая в правой части формулы (26) |
произве- |
|
d J v (а) |
0 dJv (В) |
надо заменить соответственно на |
и I I \ |
дения a — — — и |
6 — |
—h J v W |
|
а а |
|
а р |
|
|
|
и —h.Jv {$).
