Подставляя это значение производной Д (а) в фор
мулу (27), получим |
|
|
J, v I[а£ X\ |
[/;(a)]2+ ( l - J ) Д (а)} |
(28) |
§4. Нули цилиндрических функций
1.В § 3 мы видели, что ортогональность функций Бесселя связана с нулями функций Бесселя и их про изводных. В настоящем параграфе мы рассмотрим основ ные свойства нулей функций Бесселя и других цилинд рических функций.
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
1. Нули |
всякой цилиндрической |
функции |
простые, кроме, |
может быть, |
z = 0. |
нуль |
крат |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть z0 Ф 0 есть |
ности п (n s s 2) |
решения yv(z) уравнения (1), |
не равного |
тождественно нулю. Тогда |
yv(z0) = г/v (z0) = |
0. |
В |
силу |
теоремы единственности решениязадачи Коши**) для
|
|
|
|
|
уравнения |
(1) yv(z) = 0. Это |
противоречит условию. |
Поэтому предположение о кратности нуля z0 |
неверно. |
С л е д с т в и е |
1. Все нули |
функций Бесселя и функ |
ций Неймана простые, кроме, может быть, |
2 = 0. |
З а м е ч а н и е . |
Из формулы |
(5) следует, |
что если г0 |
есть нуль |
функции Бесселя Jv (z), то и — z0 является ну |
лем этой функции. |
Из этой же формулы следует свойство |
*) Квадрат нормы на отрезке [а, Ь] любой функции Kv (Ъ), удовлетворяющей уравнению (22]), вычисляется по формуле
ь
\ « т м & = К |
ГdYv (г) П2 |
/. |
v2\ ... |
. .1 ъ% |
dz J |
+ ( • - £ ) |
к; |
<**)>} |
а\ . |
|
' V |
га у |
v |
|
Для доказательства этого надо использовать очевидное соотношение
ь
$ xYv (kx) Y v (их) dx —
а
\Ь
= { ; Д -Я2 Yv |
d x Yy |
— Уу ^ dx |
(рх) |
и перейти в нем к пределу при р —►X. При вычислении предела пра вой части следует воспользоваться правилом Лопиталя и уравне
нием (22]), как и при вычислении нормы
**) См. С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959.
четности функций Бесселя с целыми индексами, т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•М — z) = |
(—1)" J n (z). |
|
|
С л е д с т в и е |
2. Все нули цилиндрических функций |
с индексами v ^ O |
изолированные. |
|
|
|
Действительно, |
любая |
цилиндрическая функция yv (z) |
может быть представлена в виде |
|
|
|
|
уу(z) — CiJу (z) -j- C2Nv(z) . |
|
|
Если |
yv (z) = C1Jv (z), |
то, |
|
пользуясь |
формулой |
(5), |
эту |
функцию можно |
записать |
в виде yv (z) = C1zvq>(z), |
где |
Ф (z) |
непрерывна |
всюду |
и |
ф (0) Ф 0. |
Существует такая |
окрестность точки z = |
0, |
ни в одной точке которой |
ф(г) |
не обращается в нуль. |
Отсюда и следует, что г = |
0 явля |
ется |
изолированным нулем функции yv {z). Если |
гд, (z) = |
= Cj/v (z) + C2Nv(z ), где C2 Ф 0, то z = 0 не может быть ну лем такой функции, так как функция Неймана Nv (г), согла сно теореме § 1, обращается в бесконечность в точке г —0.
Пусть |
z0 Ф 0 |
является |
точкой |
накопления |
нулей |
цилиндрической функции г/, (г) |
и Уу( г0) = 0. Тогда можно |
выделить |
сходящуюся |
к |
г0 |
последовательность |
нулей |
{z„}-»-'z0, Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
уу(z0) = lim Ух-{гп)-Уу (z0) = 0. |
|
Таким образом, |
имеем |
yv (zQ) = 0 и yy(z0) = 0. Это озна |
чает, что z„ является |
нулем |
второй |
кратности, |
чего не |
может быть по теореме |
1. |
|
|
|
|
Очевидно, указанное утверждение эквивалентно сле дующему: в любой ограниченной области, переменной z всякая цилиндрическая функция yv (z) может иметь лишь ко нечное число нулей. Это утверждение справедливо для ци линдрических функций с любым индексом v.
2. Т е о р е м а 2. Все нули функций Бесселя / v(z) с вещественным индексом v > —1 вещественны.
Для доказательства нам понадобится
Лемма . |
Если а — rei(f есть корень уравнения Jv(у) = 0, |
то и сопряженное |
ему число а = re~i4> является корнем |
того же уравнения. |
|
Функцию Бесселя, очевидно, |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
можно записать в следующем виде: |
СО |
|
|
Jy (z) = Zv ^ |
bkz2k, |
где |
bk = 2^ 2*г (*-fV+ i) г (/г-f ]) • |
k =o
Тогда
|
|
СО |
bkrike,ik* = |
|
|
|
|
|
Д (Ге<ф) = rV vtp |
|
|
|
|
|
|
А= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
^Vgivtp 2] |
bkr2kcos 2£ф + i |
bkr2k sin 2£cp |
|
|
|
,a = o |
|
|
|
£=0 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jv (re>*) = rve»*[Av (r, |
q>) + iDv (r, |
Ф)], |
(29) |
|
Jv (re ‘4) = |
rve ,vcp[Л v (г, |
ф) - |
/Z)v (r, |
cp)], |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
Лv (г, ф )= 2 |
bkr2k cos 2kq>, |
Dv (r, |
ф ) = ^ |
bkr2k sin 2 £ ф . |
|
a= o |
|
|
|
|
*=o |
|
|
|
Из формул (29) лемма следует немедленно. Действи |
|
тельно, пусть |
а ~ rei4> есть |
корень |
уравнения |
Jv (у) = 0. |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jv (а) = / v (reitf) = rV vtp [Av (г, ф )'+ iDv (г, |
ф)] |
= 0. |
|
Следовательно, |
Av (r, ф) = Dv (r, ф) = |
0. Тогда и Jv (а) = 0. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р емы. |
Пусть |
a — rei<f есть |
|
нуль функции |
Бесселя |
Jv (z). |
По лемме a = re~i(f также |
является нулем этой функции. Тогда по свойству ортого нальности имеем
jj xJv х^ Jv dx = 0,
0 = ^ xJv ^ j xei4> Jv ( |
xe ‘9! dx = |
|
о |
|
|
= \ x (~Xi J v |
A^ j x, Фj + |
Ф dx. (30) |
Мы воспользовались при этом формулами (29). Однако подынтегральная функция в последнем интеграле непре рывна и не равна тождественно нулю. Следовательно, и интеграл не может быть равен нулю. Таким образом, предположение о существовании комплексных корней у функции Бесселя приводит к противоречию.
Т е о р е м а 3. Всякая цилиндрическая функция уv(z), принимающая вещественные значения на вещественной оси, имеет бесконечное множество нулей.
Доказательство этой теоремы будет дано позже,
в§ 7, п. 7.
Сл е д с т в и е . У всякой функции Бесселя Jv (z) и функ
ции Неймана Nv(г) с вещественными индексами v имеется бесконечное множество нулей.
3. На основании доказанных теорем положительны корни уравнения Jv (а) = 0 (где v — вещественное число) можно перенумеровать в порядке их роста натуральными числами:
aj < а 2 < . . . < ат С а т +г < . . .
Очевидно, эти корни являются функциями индекса v, т.е.
|
ат = ат (v). |
|
Т е о р е м а 4. |
Нули функций Jv (z), J'v {z) |
utpv(z) = |
= zJ’v (г) + hJv (z) |
с положительным индексом |
v растут |
с ростом v. |
|
|
Проведем подробное доказательство для функции Jv (z).
Для доказательства теоремы |
достаточно |
установить, что |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для |
любого фиксированного т |
имеем |
|
(31) |
•M a m(v)] = 0. |
Дифференцируя это тождество по v и опуская для упро щения записи индекс т, получим
Jv{z) |
d a . д Т , |
ч |
= 0. |
(32) |
-.ato+ fo Jy ^ |
|
|
|
|
|
Штрихом мы будем обозначать производную по z. Далее, из формулы (17) находим
zJv (z) — v jv (z) = — z/v +l (z),
откуда, с учетом тождества (31), получаем
А > ( г ) | г _ а = |
7 v + x ( c t) . |
(3 3 ) |
Первое из тождеств
az izJv (2)} + |
( г - ^ ) |
/ v(2) = |
0, |
dz {zJo (z)} + |
(z - j |
XJ0j (z) = |
0 |
умножаем на J0{z), второе |
на |
Jv (г) |
и результаты вычи |
таем один из другого. Получим |
|
|
|
|
|
А {г [ /' (г) Jv (г) - |
Л (г) J0(г)]} |
|
|
Jv(z) Ja (z) . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
[Л (X) л (X) - |
л (X) Ja (X)] = |
5 Ш 1 Л Л dZt (34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
так |
как |
для |
v |
и |
о > 0 |
выражение |
г [J'a {z) Jv (г) — |
— J'v (г) Ja (z)\ |
равно |
нулю |
п р и г = 0. |
При a = v левая |
часть в (34) имеет вид ^ . Вычисляя |
ее при a = v по пра |
вилу Лопиталя, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
* (Л {х)% Л (г) |
|
—Jy (Х) f o J v (2) |
= х) |
•' |
г |
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
здесь x = a(v), |
получим |
|
|
|
(35) |
|
|
|
|
|
|
— а |
|
д |
(г) |
|
•Д(г) dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражая ^ |
Jv(z) |
|
через |
/(Да) |
и а ' |
из тождества |
(32) |
и исключая |
затем |
J'v (а) |
с помощью (33), |
получим |
|
|
da |
|
2v |
|
|
d z > |
0. |
|
|
|
|
dv |
a^v+ 1 (“) 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Для функций J'y (г) и <pv (г) доказательство проводится аналогично, но при этом надо тождество (31) заменить
соответственно тождествами |
|
|
■^v(P(v)) = 0 |
и y (v)-/v(y (v)) + /z-M y (v)) = |
0. |
Здесь |
(3(v) — нуль |
функции J'v (z)> У(v) — нуль функции |
9 v ( 2). |
Т е о р е м а |
5. Функции Jv (г) и Jv+1 (г) |
не имеют |
4. |
общих нулей, кроме, |
может быть, z = 0. |
|
Справедливость теоремы легко установить, пользуясь |
формулами (17) *). |
Нетрудно также показать, что нули |
функций Jy(z) и Jv+1(z) разделяют друг друга. |
|
*) |
Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно. |
|
