5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя ряда их свойств к решению краевых задач.
П р и м е р . |
Решить |
задачу об остывании однородного бесконеч |
ного круглого |
стержня |
радиуса R, на поверхности которого все |
время поддерживается нулевая температура. Начальная температура
|
|
|
|
|
|
|
|
внутренних точек стержня задана и равна ср (г). |
найти |
решенйе |
Математическая |
постановка |
задачи: |
требуется |
и (г, t) уравнения |
Ди = - а-м/ для |
t > 0 |
и 0 s £ r < /? , |
удовлетворяю |
щее следующим начальным и краевым условиям: |
|
|
и (г, 0) = |
ф(г), |
u(R,() = 0, |
(и(0, 0 |< о о . |
|
Р е ш е н и е . |
Разделяя |
переменные |
и (г, 0 = Ф (г) W (t), |
находим |
Ф ' + — Ф ' + ХФ =0, Ф (Р )= 0 , | Ф (0) | < оо,
Ч (1) = Се~ХаЧ, г д е ? ,> 0 .
Общее решение уравнения для Ф (г) можно записать в виде
Ф (r) = AJ0 ( V lr ) + BN0 (J/Xr).
Здесь Л/д ( У hr) — линейно независимое с J0 (V~Xr) |
решение уравне |
ния для Ф (г). По следствию из теоремы § |
1 N0 (l^Xr) неограничена |
в окрестности |
г = 0. |
Поэтому из |
условия |
ограниченности искомого |
решения находим В = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
Ф (г) — AJ0 |
|
Очевидно, |
можно |
положить |
А = 1. Из краевого условия |
при r = R находим уравнение для опре |
деления собственных |
значений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 0(р)=0, |
p= |
|
|
|
|
|
По теоремам |
1—3 это |
уравнение |
имеет бесконечное число |
простых |
вещественных |
корней |
Pi < |
Цг < • • • < |
Рл < |
• ■■По |
ним |
определяем |
собственные значения |
Х/г = |
ц“/Р 2 |
и |
собственные |
функции |
задачи |
Мы будем предполагать полноту этой системы собственных функ ций и разложимость функции ф (г) в ряд по собственным функциям
Решение исходной задачи ищем в форме ряда
2
со Чп
Коэффициенты ряда Сп находим, используя начальные условия и свойство ортогональности функций Бесселя:
оо
Умножаем это тождество на rJ, \\>\Rь г и полученный результат
интегрируем по г на промежутке [0, /?|. С учетом ортогональности функций Бесселя и формул для квадрата их нормы получим
R
jjr y ( r ) j J t g r ) d r = = C k R*{Jo(V-k)]2-
Следовательно,
гф С'-) Н ( ^ r]dr.
Ск
З а м е ч а н и е . Для приближенного решения задачи достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда, например:
|
U (г, |
() =5= Схе |
|
|
|
|
|
|
• м ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi и р2 находим в таблицах |
значений J0 (х): |
|
|
|
|
|
|
р1 = 2,4048, |
pi2 = 5,5201. |
|
|
|
6. |
Приведем |
без |
доказательства |
некоторые теоремы |
о разложении функций в ряды Фурье по функциям Бес |
селя. |
Эти |
теоремы |
уточняют |
общую |
теорему |
Стеклова |
(гл. IV, § 2) о разложении функции |
в ряд Фурье по соб |
ственным функциям для частного случая, когда собствен |
ными функциями являются функции Бесселя. |
|
Предварительно напомним одно определение. |
|
Функция |
f (х) называется |
абсолютно интегрируемой |
на промежутке (а, |
Ь), |
|
|
|
|
ь |
; / (х) , dx имеет ко- |
если |
интеграл |
^ |
нечное значение. |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
кусочно-непрерывная |
Т е о р е м а |
6. Если функция / (х) |
и кусочно-гладкая на [0, |
/], |
то ее ряд Фурье по функциям |
Бесселя Jv [ |
xj (v^s —0,5) сходится к у [fix + 0)-j-/(x — 0)] |
в каждой точке х е |
(0, |
I). Для х = 1 он сходится к f (/ — 0). |
При v > 0 для х = 0 он сходится к нулю. |
|
Т е о р е м а |
7. Пусть функция / (х) |
обладает свойст |
вами: а) абсолютно |
интегрируема на промежутке (0, /); |
б) непрерывна на отрезке [а, Ь] (0 |
а < 4 'V /); |
в) имеет |
абсолютно интегрируемую на {а, Ь) производную. Тогда |
ряд Фурье этой функции по функциям |
Бесселя Jv !'1'1х ] |
(v |
-0 ,5 ) |
сходится равномерно к / (х) |
на всяком отрезке |
[а+ |
6, b —6], |
где 0 < 8 < (b — а)/2. |
Если |
Ь = 1 и f(l) = 0, |
то |
сходимость |
будет равномерной |
на |
всяком |
отрезке |
[а+ 8, /]. |
|
|
|
|
уравнения Jv (z) = 0. |
|
Здесь р„ — положительные корни |
|
З а м е ч а н и е . |
Утверждения теорем 6 и 7 справедливы |
также в случаях, |
когда р„ — положительные корни |
урав |
нения |
|
|
zJv (z) + hJv (г) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если дополнительно потребовать, чтобы v = — h, |
а |
в тео |
реме 7 опустить |
условие f (/) = 0. |
|
|
|
|
Т е о р е м а |
8. |
|
Если f (х) |
непрерывна и дважды диффе |
ренцируема на отрезке [0, /] |
и / ( 0) =/ ' (0) = 0, афф (/)-}- |
-}- аф (/) = 0, то ее ряд Фурье по функциям Бесселя Jv [ х\
порядка v 5s 0 сходится равномерно к / (х) на отрезке [0, I].
Здесь ^„ — положительные корни уравнения a±zJy (z) + а 2JV(z) = 0.
§5. Функции Ганкеля
1.Третий класс цилиндрических функций мы построим следующим образом. Будем искать решение уравнения (1)
ввиде контурного интеграла
w (z )= \K (z ,l)v (l)d t, |
(36) |
с |
|
где К (z, £) —некоторая заданная функция, а и(£) — не известная функция. Подставляя эту функцию w(z) в левую часть уравнения (1), получим
|
L [w] = ^ {z*Kzz + |
zKz+ z*K - v*K\ v (£) dl. |
(37) |
|
c |
|
этом, что контур С и |
|
Мы |
полагаем |
при |
функция |
К (г, I) |
выбраны так, |
что все проделанные выше операции |
были выполнимы. |
|
|
I) выбрать решение уравнения |
Если |
в качестве К (z, |
|
z2KZz+ zKz~Ь z2K + К%%= 0, |
(38) |
то L [w] |
можно записать в следующем виде: |
|
L [w] = — $ (v2/C + |
/С£|) v (|) dl = |
|
|
с |
= |
- |
\K W ' + v*v}dl + {Kv' - K iv }BA, |
|
|
|
|
|
|
с |
|
Эта формула получена путем двукратного интегрирования по частям второго слагаемого; А и В —концы контура интегрирования.
Возьмем в качестве К (г, |) функцию JLg-fcsfnS, а в
качестве v (|) — решение уравнения
v”+ v2v = О,
например ei v Контур С выберем так, чтобы все упомя нутые выше операции были законными и чтобы выраже ние Kv' —К%р на концах контура С, т. е. в точках А и В, обращалось в нуль. Тогда
w (z) = |
е - izsin 6 + л* d\. |
(39) |
с |
|
|
2. Принимая за С контуры Сх и С2 (рис. 33), мы по |
лучим две цилиндрические функции: |
|
Н\ {z) —— { e - iz^ +^ d l , |
|
7i |
J |
|
называемые функциями Ганкеля.
Выкладки, приведшие нас к определению функций Ганкеля, носили формальный характер. Поэтому нам надо показать, что функции Нф (z) и
Нф (г), определенные формулами (40), действительно являются решениями уравнения (1), т. е. имеют производные первого и второго порядка, и что при под становке функций Н'41(г) и //у (г) в уравнение (1) дифференциро вание (первого и второго поряд ка) можно производить под знаком интеграла. Надо дока
зать также, что при указанном выборе контуров Сг и С2 выражение Kv' — K%v обращается в нуль на концах этих контуров.
Докажем ряд свойств функций Ганкеля.
С в о й с т в о 1. Функции Ганкеля определены и непре рывны в области Re z > 0,
