Для доказательства этого достаточно *) установить равномерную сходимость интегралов, определяющих функ ции Ганкеля, в области D6 == Re z 2 s б > О, где б — любое положительное число.
Рассмотрим для определенности функцию Щ' (г). На верхней части контура Сх
£ = — я |
+ г'Р ( Р >0) , |
sin g = —- ish{5. |
На нижней части |
контура |
Сх |
|
|
1= Ф (Р < |
0), |
sin | = |
г sh р. |
Следовательно, на этих частях |
контурд Сх функции |
e- 6shp-sp+n<7 и e6shp-ps соответственно будут мажорант
ными для модуля подынтегральной функции (v = s + iq).
СО
Вместе с тем интегралы от этих функций jj g-ashp-sp + it?
о
о
и ^ e6shP_sP dp сходятся. Следовательно, исходный интег-
— СО |
|
|
|
в области Re z ^ |
рал по контуру Сх равномерно сходится |
^ б > 0. Аналогично |
устанавливается |
равномерная схо |
димость интегралов |
|
|
|
\KzVdl, |
\ K ZzVdl, |
\ K n v d l |
(р= 1,2). |
с р |
с р |
|
с р |
|
З а м е ч а н и е |
1. |
При |
всяком фиксированном значе |
нии z из области D6 Нф (z) и Нф1(z) суть функции пере менной V. Функции £-6shp+ Pm+w и g6shp-mp будут мажорантными для подынтегральной функции в (40) соот ветственно на верхней и нижней части контура Сх, если v принадлежит замкнутой области Gm== {RevsCm}. Так как интегралы по верхней и нижней частям контура Сх от указанных мажорантных функций сходятся, то интег рал, определяющий Щ' (г), равномерно (относительно v е e G m) сходится в Gm. Отсюда следует непрерывность Н'ф (г), по v всюду. То же верно и для Н'ф(г). Таким образом,
функции Ганкеля являются непрерывными всюду функциями индекса v.
С в о й с т в о 2. |
Функции |
Ганкеля аналиттны в обла |
сти Re г >■ 0. |
|
|
*) |
См. |
Ф и х т е н г о л ь ц Г. |
М., Основы математического ана |
лиза, т. |
II, |
гл. XVI11, |
изд. 5-е, |
«Наука», 1968. |
Для доказательства этого заметим, что интеграл
$Hv'(z)dz, взятый по любому кусочно-гладкому замкну-
L
тому контуру L, лежащему в области R e z S ^ S X ) , равен нулю. Действительно,
^ Щ 1(г) d z = \ \ e-<-zsin6+tv| yz ^ ^ 0>
L С, L
так как функция e - ‘zsinS при любом фиксированном £ аналитична всюду по г, и поэтому по интегральной тео реме Коши
§ e-izsinldz = 0.
L
Перестановка порядка интегрирования здесь была закон
|
|
|
|
|
ной в силу равномерной сходимости |
интеграла по кон |
туру Сг. |
Тогда по теореме Морера*) |
Щ'(г) аналитична |
в области |
Re z S = 8 > 0 . В силу |
произвольности б Щ'(г) |
аналитична в области |
R e z > 0 . |
Аналогично доказывается |
аналитичность Нф{г). |
Совершенно аналогично устанавли |
З а м е ч а н и е 2. |
вается аналитичность всюду функций Ганкеля по пере
менной V. Таким образом, функции |
Ганкеля суть целые |
функции индекса v. |
|
Поскольку интегралы jj Kzv dl, и |
^ KzzVdl, сходятся |
S |
СР |
равномерно в области RezSs8 ( б>0), то при вычисле нии производных функций Ганкеля дифференцирование
можно производить под знаком интеграла. |
С в о й с т в о 3. |
Справедливы предельные соотношения |
lim |
{К {г, I) v’ (I) - |
г|3->—я+1'со * |
- К ь ( г , £)ИШ = 0, |
R e z > 0 . (41) |
lim
£= *Р-* — (оо
-А Д г , £)у(&)} = 0,
Докажем первое из них. На верхней части контура Cj
К (г, £) и' (£) | = | e - ‘zsint+iv4v | = | v | g-zshp-sp+n? _> о
*) См. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функ ций комплексного переменного, «Наука», 1973.
при f}-*-oo; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Къ (z, |
|) v (I) | = |
| — iz cos |e-<zsin£+ «4 ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= | z | ch pe-*shp —sP+w _> о, |
при |
P->oo. |
Отсюда следует справедливость первого соотношения. |
|
Второе доказывается аналогично. Таким образом, функ |
ции Ганкеля являются решениями уравнения |
(1), |
анали |
тическими в полуплоскости R e z > 0 . |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Путем |
непосредственного вычисления убеждаем |
в справедливости |
рекуррентных формул |
|
|
|
|
|
m |
. l (z) + H ^ ll ( z ) ^ 2-v H ^ |
(z) |
|
( 6 =1 , 2 ) , |
(42) |
|
^ |
|
| ( г ) - е |
1( г ) ^ - 2 | Я < « ( г) |
|
(6=1, |
2). |
(43) |
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) + щ к1 |
J (г) = |
Х |
jj e - ' z s i n | ( e / ( v + i ) i |
+ e ; ( v - i )l)dl = |
|
|
|
|
|
|
" |
ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
X |
^ |
iz s i n i + ( ' v 5 |
(g il _ | _ g — * 5 ) |
dc, — |
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
( |
g-izsini+ivs cosldl = ~ |
[ eivtd (e -izsinZ). |
|
|
|
71 |
J |
|
|
|
|
|
171Z |
J |
|
|
|
|
Производя интегрирование по частям, |
получим для |
НГ{г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
Д- |
[ |
eiv*d (е~ ‘zsin£) = |
|
в- -иu sln l + ivl |
~— too |
. |
+ |
|
13X2 |
|
|
|
|
m z |
j |
4 |
|
7 |
|
|
|
\ =—Я+ica |
|
|
|
|
сч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Т Д S e - 'zsi"£+ /vidg = X l |
J e-izsini+iv^ с11 = Ц н у (z), |
так как подстановка пределов в проинтегрированную часть дает нуль (см. стр. 305). Для Яу’ (г) выкладки те же.
Далее,
Я » ;, (г) — Я<Д, (z) = X ^ e-izsin$+ivi2i sin g dg.
С другой стороны,
2 |
Я<*> ( z) = X jj e - i z s i n i + i v i ( — i s j n ^ (fli' |
Следовательно, верна и формула (43). Легко установить также соотношения
|
|
H—v (z) = |
eivnH\' (2), |
(44) |
|
|
Н-ч (г) = |
еЧх'яНу (z). |
(45) |
Первое |
из них получается |
заменой |
переменной интегри |
рования |
£ = — л — а в |
интеграле |
|
|
|
|
/ / < 1 ) ( Z) = |
J ^ |
g - , ' * s i n i + |
/ v6rf |. |
|
|
|
|
С, |
|
|
Действительно, |
при такой |
замене переменной |
интегриро |
вания контур |
Сг перейдет |
в тот же |
контур, |
но с проти |
воположным обходом. Таким образом, получим
(г) = ~ § e - 'zsin“ +‘va da • eivn= е'ч'лЯ<,‘>(г), |
|
|
с, |
|
|
|
Формула (45) |
устанавливается аналогично |
заменой |
пере |
менной интегрирования |
£ = я —а. . |
линейно неза |
Поскольку |
функции |
Jv (z) и 1Vv (г) суть |
висимые решения уравнения (2), функции Ганкеля должны быть их линейными комбинациями.
Докажем, что в области Re г > 0 справедливы фор
мулы |
|
?WV(2), |
(46) |
Щ (г) = yv(z) + |
ЯЛ (г) == yv (г) - |
iWv (г). |
(47) |
Для их доказательства достаточно установить спра |
ведливость формулы |
|
|
|
Jv (z) — |
Н - » ( г ) + Н р ( г ) |
(48) |
2 |
|
|
|
|
Действительно, заменяя здесь v на — v и используя тож дества (44) и (45), получим
J_v (г) = ~ {е**Ну (г) + е- ivnHW (2)}.
Разрешая соотношения |
(48) и (49) |
относительно |
и Яу’(г), находим |
Jv(z)e-l^ - J _ v(z) |
Hvl (z) = i |
|
sinvji |
’ |
|
II
|
J_v (г)—e‘V3Vv (г) |
sin vrc |
|
|
|
Следовательно, |
|
Hvv (z) - tfv'(z) = |
Vv ( 2) cosvn—7_v (z)}= 25¥v(z). (52) |
|
T |
Из (48) и (52) следуют формулы (46) и (47). Докажем справедливость формулы (48). Поскольку
функции |
Jv (а) и Hjf> (г) |
(k — 1, 2) аналитичны в области |
R e z > 0 , |
нам |
достаточно |
доказать |
формулу |
(48) для |
z — x > 0 . |
|
|
Обозначим |
через /v(z) правую |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
часть формулы |
(48). Тогда |
|
|
|
|
/v (х) = 2'л' |
J * в1п 6 + fv£ dl, |
(53) |
где С0 — контур, изображенный на рис. 34.
Произведем в этом интеграле замену переменной интег рирования
П = -Д р~*(£~ я)
При этом полупрямая (— л + /оо, — я) контура С0 перей
дет в полупрямую |
(+ |
оо, х/2) вещественной оси (в ее |
|
Р |
|
|
нижний берег), полупрямая (л, л + |
|
|
|
- f /оо) — в |
ту |
же |
полупрямую |
|
|
|
|
(х/2, + оо) |
вещественной оси, но |
|
|
|
|
проходимую |
в |
противоположном |
|
|
|
|
направлении |
(в ее верхний бе |
|
О |
|
|
рег); |
отрезок [— я, |
л] —в окруж |
- л |
|
Л |
ос |
ность |
\а \ — х/2. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при выбран |
Рис. |
34. |
|
|
ной замене переменной интегри |
|
|
|
|
рования контур С0 перейдет в кон- |
тур y (глXIII, |
стр. |
274), обходимый в обратном на- |
правлении. |
Следовательно, |
|
|
|
|
da
аV i 1
у
|
— giJlv |
е~асГч~1e4a da. |
|
2n |
|
|
